Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2020 (convocatoria extraordinaria)

Dada la ecuación matricial

$M\cdot X+N=P,$

donde $X$ es la matriz incógnita y

$M=\left(\begin{array}{cc}-1& a\\ a& a\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 3& 4\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 3& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) ¿Para qué valores del parámetro $a$ existe la matriz inversa de $M$? [1 punto]

b) Calcule la matriz inversa de $M$. [3 puntos]

c) Para $a=2$, resuelva la ecuación matricial, si es posible. [3 puntos]

d) Para los valores de $a$ para los cuales existe la matriz inversa de $M$, resuelva la ecuación matricial. [3 puntos]

Considere la función

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-3)(x+3)}}\mathrm{.}$

a) Determine: el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las coordenadas de los máximos y mínimos y el ${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)$. [2 puntos]

b) Haga un esbozo de la gráfica. [1 punto]

c) Obtenga los valores de $A$ y $B$ para los cuales

$f(x)={\displaystyle \frac{A}{x-3}}+{\displaystyle \frac{B}{x+3}}\mathrm{.}$ [3 puntos]

d) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje $OX$ y las rectas de ecuaciones $x=-2$ y $x=2$. [4 puntos]

Dadas las rectas

$\text{(I)}\{\begin{array}{l}15x+12y-14z=-17,\\ 8x-y-5z=23,\end{array}\text{(II)}\{\begin{array}{l}9x+5y-2z=5,\\ 24x-2y-13z=67.\end{array}$

a) Calcule un vector posición y un vector director de cada una. [4 puntos]

b) Calcule la ecuación vectorial de cada una. [2 puntos]

c) Calcule el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector diferencia, o vector resta, de los dos vectores posición obtenidos. [2 puntos]

d) A partir de ese rango, deduzca la posición relativa de ambas rectas. [2 puntos]

Tenemos tres urnas: la primera contiene 2 bolas azules; la segunda, 1 bola azul y 1 roja; la tercera, 2 bolas rojas. Hacemos el experimento aleatorio

«Elegimos una urna al azar y extraemos una bola»

Suponga que todas las urnas tienen la misma probabilidad de ser escogidas.

a) Calcule la probabilidad del suceso $R=$ «bola extraída roja». [5 puntos]

b) Si la bola extraída resulta que es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la urna escogida haya sido la tercera? [5 puntos]

Dadas las matrices $A$ y $B$,

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& x\\ 4& 6& 8\\ 6& 9& 12\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$

a) Calcule $A\cdot B$ y $(A\cdot B{)}^t$, donde la «t» indica matriz traspuesta. [4 puntos]

b) ¿Es posible calcular $B^2$? Si lo es, calcúlela. [1 punto]

c) Para los diferentes valores de $x$, calcule el rango de la matriz $A$. [5 puntos]

En un acuario, el estudio de la evolución de la población de peces se ha modelado según la función $t\to P(t)$,

$P(t)=\sqrt{t+1}-\sqrt{t},$

donde la variable $t$, que es un número real mayor o igual que cero, mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000, y $P(t)$ indica el número de individuos, en miles, en el instante de tiempo $t$. Según el modelo, calcule:

a) La población que había el 1 de enero del año 2000 y la población que habrá al final del año 2020. [1 punto]

b) El tamaño de la población (en número de individuos) a largo plazo. [3 puntos]

c) El año en el cual se llega a la población mínima y cuántos individuos habrá. [4 puntos]

d) Haga un esbozo de la gráfica de la evolución poblacional $t\to P(t)$. [2 puntos]

Dados los planos

$\text{(I) }3x-ay+2z-(a-1)=0,\text{(II) }2x-5y+3z-1=0,\text{(III) }x+3y-(a-1)z=0,$

a) Demuestre que, para cualquier valor del parámetro $a$, no hay ninguna pareja de ellos que sean paralelos. [4 puntos]

b) Estudie su posición relativa, según los diferentes valores del parámetro $a$. [6 puntos]

El peso de un grupo de personas sigue una distribución normal de media 54,3 kg y desviación típica de 6,5 kg.

a) ¿Cuál es el porcentaje de personas con peso superior a 57 kg? [3 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de personas pesan entre 50 y 57 kg? [4 puntos]

c) Si se escoge una persona al azar que está dentro del 70 % de las personas que menos pesan, ¿cuántos kilos habría de pesar como máximo? [3 puntos]