Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2026 (convocatoria ordinaria)

En un estudio de grabación se han colocado tres micrófonos colgados del techo con cables de diferentes longitudes para grabar un concierto acústico.



Considerando un sistema de referencia en el que el origen se encuentra en el suelo de la sala, el techo del estudio está a una altura de 7 m, tal como se muestra en la figura. Los micrófonos se colocan en las posiciones siguientes:

— Micrófono 1 ($M_1$): coordenadas $x=2$, $y=3$, colgando del techo con un cable de longitud 1 m.

— Micrófono 2 ($M_2$): coordenadas $x=4$, $y=4$, colgando del techo con un cable de longitud 2 m.

— Micrófono 3 ($M_3$): coordenadas $x=5$, $y=1$, colgando del techo con un cable de longitud 3 m.

Durante el ensayo, un músico se coloca en el punto $P(4,3,0)$, que representa su posición sobre el escenario.

a) Determine las coordenadas de los tres micrófonos y calcule la ecuación del plano que los contiene. [1 punto]

b) Sea $\pi$ el plano que contiene los micrófonos $M_1$, $M_2$ y $M_3$. Para mejorar la calidad del sonido, se quiere colocar un cuarto micrófono $M_4$ de manera que sea la proyección ortogonal del punto $P$ sobre el plano $\pi$. Determine las coordenadas de este cuarto micrófono. [1 punto]

Sea $f(x)={\displaystyle \frac{4x^3}{x^2+1}}\ln (x)$. Calcule $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. [2 puntos]

Una plataforma de streaming de videojuegos ha analizado los hábitos de sus usuarios durante un año. El estudio muestra que el 40 % de los usuarios juegan principalmente a juegos competitivos en línea. De entre estos usuarios competitivos, el 30 % participa habitualmente en torneos oficiales. En cambio, entre los usuarios que no juegan principalmente a juegos competitivos, se sabe que el 20 % también participa en torneos oficiales.

a) Si se selecciona aleatoriamente un usuario que no juega principalmente a juegos competitivos, ¿cuál es la probabilidad de que no participe en torneos oficiales? [0,5 puntos]

b) Si se selecciona aleatoriamente un usuario y se sabe que participa en torneos oficiales, ¿qué es más probable, que juegue principalmente a juegos competitivos o que no? [1,5 puntos]

Se pretende estudiar la intensidad de la señal eléctrica registrada por un electrodo implantado en un área del córtex cerebral. La intensidad de la señal $I(t)$ (en microvoltios) en función del tiempo $t$ (en milisegundos) después de un estímulo viene dada por la función

$I(t)=50t{e}^{-\mathrm{0,2}t},t\ge 0.$

a) Calcule en qué instante de tiempo la intensidad de la señal es máxima y cuál es esta intensidad. [1 punto]

b) Calcule una primitiva de la función $I(t)$, es decir, determine ${\displaystyle \int I(t)dt}$. [1 punto]

La desviación vertical de un dron, $y(t)$ (en metros), respecto de una altura de referencia después de una perturbación inicial, se describe a lo largo del tiempo $t$ (en segundos) como

$y(t)={\displaystyle \frac{t^3+t^2+2t-1}{t^4+2}},t\ge 0,$

donde los valores positivos de $y(t)$ indican que el dron se encuentra por encima de la altura de referencia, mientras que los valores negativos indican que se encuentra por debajo de esta.

Demuestre que existe al menos un instante de tiempo $t$ en que el dron se encuentra exactamente a la altura de referencia. [2 puntos]

Sean $A$ y $B$ dos matrices $3\times 3$ tales que $A$ es invertible y

$AB+A+I=2A,$

con $I$ la matriz identidad de dimensión $3\times 3$.

a) Calcule la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$. [1 punto]

b) Sean

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)\text{y}\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),$

calcule $\mathbf{x}$ tal que $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, donde $A$ cumple la igualdad $AB+A+I=2A$. [1 punto]

En un estudio de mezclas químicas se preparan tres componentes químicos utilizando tres sustancias diferentes. Las cantidades (en litros) de cada sustancia utilizada son $x$, $y$ y $z$.

Las condiciones experimentales imponen las relaciones siguientes:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=3,\\ 2x+y+z=4,\\ x+y+mz=3,\end{array}$

donde $m\ge 0$ es un parámetro real que depende de la concentración de un catalizador.

Discuta, según los valores del parámetro $m$, si se pueden determinar o no las cantidades de cada sustancia. [2 puntos]