Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2020 (convocatoria ordinaria)

Dado el sistema de ecuaciones lineales

$\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ ax+z=0,\\ x+(1+a)y+az=a+1,\end{array}$

determine el parámetro $a$, y resuelva siempre que se pueda, de manera que el sistema:

a) tenga solución única. [4 puntos]

b) tenga infinitas soluciones. [4 puntos]

c) no tenga solución. [2 puntos]

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por

$y=f(x)=x^3-3x\mathrm{.}$

a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=-1$. [2 puntos]

b) Haga un esbozo de la gráfica de $y=f(x)$ y calcule: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito. [4 puntos]

c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta $y=2$. [4 puntos]

Considere el punto $P=(2,-1,1)$ y la recta $r$ dada por

$r\equiv \begin{array}{r}2x-3y+4z-1=0\\ x+2y-3z-2=0\end{array}\}$

a) Calcule la expresión de la ecuación continua de la recta $r$. [2 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano $\mathrm{\Pi }$, perpendicular a la recta $r$, que pasa por el punto $P$. [2 puntos]

c) Calcule el punto $Q$ de intersección del plano $\mathrm{\Pi }$ con la recta $r$. [3 puntos]

d) De todas las rectas que pasan por el punto $P=(2,-1,1)$, calcule aquella que corta perpendicularmente a la recta $r$. [3 puntos]

El número de horas de vida de una cierta bacteria (tipo A) se distribuye según una normal de media 110 horas y desviación típica de 0,75 horas. Calcule la probabilidad de que, escogiendo al azar una bacteria:

a) su número de horas de vida sobrepase las 112,25 horas. [4 puntos]

b) su número de horas de vida sea inferior a 109,25 horas. [4 puntos]

c) De otra bacteria (tipo B) se sabe que el número de horas de vida se distribuye según una normal de media 110 horas, pero se desconoce su desviación típica. Experimentalmente se ha comprobado que la probabilidad de que una bacteria tipo B viva más de 125 horas es 0,1587. Calcule la desviación típica de la distribución del número de horas de vida de las bacterias tipo B. [2 puntos]

Una empresa tiene tres minas: $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ y $\mathbf{C}$, y en cada una, el mineral extraído contiene los elementos químicos níquel (Ni), cobre (Cu) y hierro (Fe), en diferente concentración. Las concentraciones son:

Mina $\mathbf{A}$: Ni (1 %), Cu (2 %), Fe (3 %).

Mina $\mathbf{B}$: Ni (2 %), Cu (5 %), Fe (7 %).

Mina $\mathbf{C}$: Ni (1 %), Cu (3 %), Fe (1 %).

Para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro en total, ¿cuántas toneladas de mineral se han de extraer de cada mina?

a) Plantee un sistema de ecuaciones que interprete el enunciado. [4 puntos]

b) Clasifique el sistema. [2 puntos]

c) Resuelva el sistema. [4 puntos]

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x^2-x}}$.

a) Calcule su dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [3 puntos]

b) Calcule una primitiva cualquiera de $f(x)$. [4 puntos]

c) Calcule el área delimitada por la gráfica de la función $y=f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x=2$ y $x=3$. [3 puntos]

Dada la recta $r$ y el plano $\pi$

$r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{3}}={\displaystyle \frac{z+2}{-1}},\pi \equiv 3x-my+z=1,$

se pide si existe algún valor del parámetro $m$ para el cual:

a) el plano y la recta son paralelos. [4 puntos]

b) o bien, el plano contiene a la recta. [3 puntos]

c) o bien, el plano y la recta se cortan exactamente en un punto. [3 puntos]

En cada caso, si existe, calcúlelo.

Una empresa de fabricación de impresoras tiene dos centros de producción, la fábrica europea (E) y la fábrica asiática (A). El 1 % de las impresoras de la fábrica E y el 3 % de las impresoras de la fábrica A se producen con un defecto. El mercado de un determinado país se abastece de impresoras procedentes de la fábrica E en un 80 %, mientras que el resto proviene de la fábrica A.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una impresora de ese país tenga el defecto? [4 puntos]

b) Si el país tiene, aproximadamente, dos millones de impresoras fabricadas por esta empresa, ¿cuántas tendrán el defecto? [2 puntos]

c) Si se escoge al azar una impresora de ese país y resulta ser una impresora defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica E? [4 puntos]