Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2024 (convocatoria ordinaria)

Una fábrica de vino de Mallorca produce 3 tipos de vino: tinto, blanco y rosado. Con la finalidad de saber el precio de cada tipo de vino, hemos comprado vino, el mismo día y en la misma fábrica, de 4 maneras diferentes:

— comprando 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco hemos pagado 67 €;

— comprando 2 botellas de vino tinto, 4 de vino blanco y 1 de rosado hemos pagado 85 €;

— comprando 1 botella de vino tinto y 1 de rosado hemos pagado 21 €, y finalmente,

— comprando 4 botellas de vino blanco y 5 de rosado hemos pagado 85 €.

a) Escriba, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales que se debería resolver para poder descubrir el precio de cada tipo de vino. [3 puntos]

b) ¿Es necesario tener los datos de las 4 compras para saber el precio de cada tipo de vino? Justifique la respuesta. [2 puntos]

c) Calcule cuál es el precio de cada tipo de vino. [5 puntos]

Consideremos las matrices $A$ de dimensión $3\times 3$ que satisfacen que $3A+I=A^2$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3\times 3$.

a) Calcule la expresión de la matriz inversa de $A$. [3 puntos]

b) Dada la ecuación matricial

$A+3AX=5I,$

donde $A$ es una de las matrices del enunciado, calcule, en función solo de la matriz $A$ (no de su inversa) y de la identidad $I$, la matriz $X$. ¿Qué dimensión tiene la matriz $X$? Justifique la respuesta. [3 puntos]

c) Calcule todas las matrices de la forma

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$

que satisfacen las condiciones del enunciado. [4 puntos]

Consideremos los puntos $A=(0,0,0)$, $B=(2,-1,3)$ y $C=(-1,2,1)$.

a) Calcule el punto $D$ tal que $ABDC$ sea un paralelogramo. [3 puntos]

b) Calcule uno de los puntos $E$ del espacio de tal manera que la recta $AE$ sea perpendicular al plano $ABC$ y que la distancia entre los puntos $A$ y $E$ sea 1. [4 puntos]

c) Escriba la ecuación de uno de los planos paralelos al plano $ABC$ que dista una unidad de este. [3 puntos]

a) Discuta, según los valores de $a$ y $b$ (parámetros reales), la posición relativa de los planos

${\pi }_1:3x+ay-z=1\text{y}{\pi }_2:6x+y-2z=b\mathrm{.}$

Es decir, si son coincidentes, paralelos o se cortan. En este último caso, especifique si lo hacen perpendicularmente. [5 puntos]

b) Calcule la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto de corte entre la recta $s$ y ese mismo plano $\pi$, siendo

$\pi :\{\begin{array}{l}x=2+4\alpha -\beta ,\\ y=3\beta ,\\ z=1+\alpha ,\end{array}s:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}},$

para $\alpha$ y $\beta$ valores reales cualesquiera. [5 puntos]

Queremos hacer una valla en un campo rectangular empleando diferentes materiales en cada lado. Empezando por el fondo del campo y moviéndonos alrededor de este en el sentido contrario a las agujas del reloj, el coste del material para cada lado es de 6 €/m, 9 €/m, 12 €/m y 14 €/m, respectivamente. Si hemos de gastar exactamente 1000 € para comprar el material de cierre, determine las dimensiones del campo que maximizarán el área cercada. [10 puntos]

Sea la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}b{e}^x+a+1,& x\le 0,\\ a{x}^2+b(x+3),& 0<x\le 1,\\ a\cos (\pi x)+7bx,& x>1.\end{array}$

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para los cuales la función $f(x)$ es continua. [5 puntos]

b) Sean $a=3$ y $b=2$; calcule el área comprendida entre $x=-1$, $x=0$ y el eje $OX$. [5 puntos]

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que satisfacen que $P(A\cup B)=\mathrm{0,7}$, $P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$ y $P(A\cap B^c)=\mathrm{0,35}$ (siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$). Calcule:

a) $P(A)$. [3 puntos]

b) $P(B)$. [3 puntos]

c) $P(A^c\cup B^c)$. [2 puntos]

d) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? [2 puntos]

La duración de los embarazos humanos desde la concepción hasta el nacimiento se aproxima a una distribución normal con una media de 266 días y una desviación típica de 16 días.

a) ¿Qué proporción de todos los embarazos durará entre 240 y 270 días (aproximadamente entre 8 y 9 meses)? [4 puntos]

b) Si nos fijamos en el 70 % de los embarazos que más duran, ¿cuál es su duración? [6 puntos]