Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que satisfacen que $P(A\cup B)=\mathrm{0,7}$, $P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$ y $P(A\cap B^c)=\mathrm{0,35}$ (siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$). Calcule:

a) $P(A)$. [3 puntos]

b) $P(B)$. [3 puntos]

c) $P(A^c\cup B^c)$. [2 puntos]

d) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? [2 puntos]

Los tres datos del enunciado reparten el espacio muestral en cuatro zonas, que es lo que conviene tener a la vista antes de empezar.





El suceso $A$ se descompone en dos partes disjuntas: lo que comparte con $B$ y lo que no.

$A=(A\cap B)\cup (A\cap B^c)$

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^c)=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,35}=\mathrm{0,45}$

La probabilidad del suceso $A$ es $\mathrm{0,45}$.



Despejamos de la fórmula de la probabilidad de la unión, en la que ya conocemos todo lo demás.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,7}=\mathrm{0,45}+P(B)-\mathrm{0,1}$

$P(B)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,45}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,35}$

La probabilidad del suceso $B$ es $\mathrm{0,35}$.



Por las leyes de De Morgan, la unión de los complementarios es el complementario de la intersección.

$A^c\cup B^c=(A\cap B{)}^c$

$P(A^c\cup B^c)=1-P(A\cap B)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,9}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades, así que basta comparar los dos números.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{0,1575}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1}\mathrm{\ne }\mathrm{0,1575}$

No, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes: saber que ha ocurrido uno de ellos modifica la probabilidad del otro.