Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Se tienen tres urnas $A$, $B$ y $C$. La urna $A$ contiene 4 bolas rojas y 2 bolas negras. La urna $B$ contiene 3 bolas rojas y 3 bolas negras. La urna $C$ contiene 6 bolas negras. Se escoge una urna al azar y se extraen dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento.

a) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja. [3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra. [3 puntos]

c) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcule la probabilidad de que la segunda sea negra. [4 puntos]

El experimento tiene tres etapas: elegir urna, extraer la primera bola y extraer la segunda sin devolver la primera. Las urnas son equiprobables, de modo que cada una se toma con probabilidad $\frac{1}{3}$. La urna $C$ solo tiene bolas negras, así que de ella no puede salir ninguna roja.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El suceso se alcanza por tres caminos, uno por urna, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R_1)=P(A)P(R_1\mathrm{\mid }A)+P(B)P(R_1\mathrm{\mid }B)+P(C)P(R_1\mathrm{\mid }C)$

$P(R_1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0$

$P(R_1)={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{6}}={\displaystyle \frac{7}{18}}\approx \mathrm{0,3889}$

La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es ${\displaystyle \frac{7}{18}}\approx \mathrm{0,39}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{negra.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora hay que recorrer las ramas completas hasta la tercera etapa, teniendo en cuenta que la primera bola no se devuelve y en la urna quedan cinco.

$P(R_1\cap N_2)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}$

$P(R_1\cap N_2)={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{8}{30}}+{\displaystyle \frac{9}{30}})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{17}{30}}={\displaystyle \frac{17}{90}}\approx \mathrm{0,1889}$

La probabilidad de sacar primero roja y después negra es ${\displaystyle \frac{17}{90}}\approx \mathrm{0,19}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{roja,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{negra.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada, con los dos resultados anteriores.

$P(N_2\mathrm{\mid }{R}_1)={\displaystyle \frac{P(R_1\cap N_2)}{P(R_1)}}={\displaystyle \frac{17\mathrm{/}90}{7\mathrm{/}18}}$

$P(N_2\mathrm{\mid }{R}_1)={\displaystyle \frac{17}{90}}\cdot {\displaystyle \frac{18}{7}}={\displaystyle \frac{17}{35}}\approx \mathrm{0,4857}$

Sabiendo que la primera bola es roja, la probabilidad de que la segunda sea negra es ${\displaystyle \frac{17}{35}}\approx \mathrm{0,49}$.