Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Se dispone de dos urnas: $U_1$ y $U_2$.

En $U_1$ hay 4 bolas rojas y 5 bolas negras.

En $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 bolas negras.

Al azar se saca una bola de $U_1$ y se introduce en $U_2$; a continuación se extrae al azar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:

a) salga una bola roja de $U_2$. [3 puntos]

b) la bola extraída de $U_1$ sea negra, sabiendo que la bola que ha salido de $U_2$ también ha sido negra. [3 puntos]

c) salga al menos una bola roja. [4 puntos]

Nombramos los sucesos según la bola que sale en cada extracción:

$R_1,N_1\equiv$ la bola extraída de $U_1$ es roja o negra

$R_2,N_2\equiv$ la bola extraída de $U_2$ es roja o negra

En $U_1$ hay 9 bolas, 4 rojas y 5 negras. La bola que sale de ahí se añade a $U_2$, que pasa a tener 10, y su color cambia la composición de la segunda urna: eso es lo que hace que el experimento tenga dos etapas dependientes.





El suceso se alcanza por dos caminos del árbol, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R_2)=P(R_1)P(R_2\mathrm{\mid }{R}_1)+P(N_1)P(R_2\mathrm{\mid }{N}_1)$

$P(R_2)={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{28}{90}}+{\displaystyle \frac{30}{90}}$

$P(R_2)={\displaystyle \frac{58}{90}}={\displaystyle \frac{29}{45}}\approx \mathrm{0,6444}$

La probabilidad de que salga una bola roja de $U_2$ es ${\displaystyle \frac{29}{45}}\approx \mathrm{0,64}$.



Se pide invertir el condicionamiento, de modo que aplicamos el teorema de Bayes. La probabilidad de que la segunda bola sea negra es la complementaria de la anterior.

$P(N_2)=1-P(R_2)=1-{\displaystyle \frac{29}{45}}={\displaystyle \frac{16}{45}}$

$P(N_1\mathrm{\mid }{N}_2)={\displaystyle \frac{P(N_1)P(N_2\mathrm{\mid }{N}_1)}{P(N_2)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}}{{\displaystyle \frac{16}{45}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{9}}}{{\displaystyle \frac{16}{45}}}}$

$P(N_1\mathrm{\mid }{N}_2)={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{45}{16}}={\displaystyle \frac{5}{8}}=\mathrm{0,625}$

Sabiendo que la bola extraída de $U_2$ ha sido negra, la probabilidad de que la que salió de $U_1$ también lo fuera es ${\displaystyle \frac{5}{8}}=\mathrm{0,625}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{salga}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{roja.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

«Al menos una roja» es el contrario de «ninguna roja», es decir, de que las dos bolas sean negras, que es una sola rama del árbol.

$P(\text{al menos una roja})=1-P(N_1\cap N_2)=1-{\displaystyle \frac{5}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}$

$=1-{\displaystyle \frac{20}{90}}=1-{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}\approx \mathrm{0,7778}$

La probabilidad de que salga al menos una bola roja es ${\displaystyle \frac{7}{9}}\approx \mathrm{0,78}$.