Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Cuestión 7.

El juego de los dados de Efron tiene 4 dados diferentes. Todos ellos son dados perfectos de 6 caras equiprobables, pero la numeración de sus 6 caras es diferente en cada uno, según se detalla en la siguiente tabla:

$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
Dado A	0	0	4	4	4	4
Dado B	3	3	3	3	3	3
Dado C	2	2	2	2	6	6
Dado D	1	1	1	5	5	5

Ana elige el dado A, Bea elige el dado B, Ceci elige el dado C y Delia elige el dado D. El juego consiste en que cada jugador lanza su dado, gana aquel que saque la mayor puntuación y pierde aquel que saque la menor puntuación. Pueden jugar uno contra uno o todos contra todos. Calcule:

a) [0,5] Si Ana juega contra Bea, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ana?
b) [0,75] Si Ana juega contra Bea 8 veces, ¿cuál es la probabilidad de que Bea gane al menos 3 veces?
c) [0,5] Si Ana juega contra Ceci, ¿cuál es la probabilidad de que gane Ceci?
d) [0,75] Si juegan todos contra todos, ¿cuál es la probabilidad de que ni gane ni pierda Ana?

Anotamos la ley de cada dado a partir de la tabla del enunciado. Como al comparar dos dados cualesquiera nunca coinciden los valores, no hay empates: en cada enfrentamiento uno gana y otro pierde.

$A:P(0)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}},P(4)={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$B:P(3)=1$

$C:P(2)={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}},P(6)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$D:P(1)=P(5)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{Ana}}\mathbf{\text{juega}}\mathbf{\text{contra}}\mathbf{\text{Bea,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{gane}}\mathbf{\text{Ana?}}$

Bea saca siempre un 3, así que Ana gana exactamente cuando su dado da 4.

$P(\text{gana Ana})=P(A=4)={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,6667}$

Ana gana dos de cada tres partidas frente a Bea, pese a que su dado tiene dos caras con un cero.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{Ana}}\mathbf{\text{juega}}\mathbf{\text{contra}}\mathbf{\text{Bea}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{veces,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Bea}}\mathbf{\text{gane}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{veces?}}$

Bea gana una partida cuando Ana saca 0, con probabilidad $\frac{1}{3}$, y las ocho partidas son independientes: el número de victorias de Bea sigue una binomial.

$X\sim B(8,{\displaystyle \frac{1}{3}}),P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{k}\right){\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{8-k}$

Pasamos al suceso contrario, que tiene menos términos:

$P(X\ge 3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]$

$P(X=0)={\displaystyle \frac{256}{6561}},P(X=1)={\displaystyle \frac{1024}{6561}},P(X=2)={\displaystyle \frac{1792}{6561}}$

$P(X\le 2)={\displaystyle \frac{3072}{6561}}={\displaystyle \frac{1024}{2187}}$

$P(X\ge 3)=1-{\displaystyle \frac{1024}{2187}}={\displaystyle \frac{1163}{2187}}\approx \mathrm{0,5318}$

La probabilidad de que Bea gane al menos tres de las ocho partidas es $\mathrm{0,5318}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{Ana}}\mathbf{\text{juega}}\mathbf{\text{contra}}\mathbf{\text{Ceci,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{gane}}\mathbf{\text{Ceci?}}$

Distinguimos según lo que saque Ana y aplicamos el teorema de la probabilidad total: si Ana saca 0 gana Ceci con seguridad, y si saca 4 solo gana cuando obtiene un 6.



$P(\text{gana Ceci})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}$

$P(\text{gana Ceci})={\displaystyle \frac{3+2}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}\approx \mathrm{0,5556}$

Ceci gana a Ana algo más de la mitad de las veces, aunque Ana ganaba a Bea: los dados de Efron no son transitivos.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{juegan}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{contra}}\mathbf{\text{todos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Ana}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{gane}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{pierda?}}$

Ana ni gana ni pierde cuando su puntuación queda en medio, es decir, cuando alguien la supera y alguien queda por debajo.

Si Ana saca 0 es la menor de las cuatro con seguridad, porque los otros dados dan como mínimo 1, 2 y 3: esa rama no aporta nada.

Si Ana saca 4, siempre tiene a Bea por debajo, así que solo hay que descartar el caso en que nadie la supere, esto es, $C=2$ y $D=1$:

$P(\text{Ana gana}\mid A=4)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(\text{ni gana ni pierde}\mid A=4)=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$P(\text{ni gana ni pierde})={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,4444}$

La probabilidad de que Ana quede en una posición intermedia es ${\displaystyle \frac{4}{9}}$.