Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Problema 8.

Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante 161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50 proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión Europea. Sabiendo que el 5% de los vuelos con procedencia nacional, el 4% de los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el 6.25% del resto de vuelos se retrasan:

a) Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase. (5 puntos)
b) Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea. (5 puntos)

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

Sean los sucesos:

$A\equiv$ Vuelo Nacional
$B\equiv$ Vuelo Unión Europea
$C\equiv$ Vuelo fuera UE
$R\equiv$ Vuelo con retraso



Se nos dan las probabilidades que representamos en el árbol.

$P(A)=\frac{95}{161},P(B)=\frac{50}{161},P(C)=\frac{16}{161}$

$P(R\mathrm{\mid }A)=0^{\mathrm{\prime }}05,P(\bar{R}\mathrm{\mid }A)=0^{\mathrm{\prime }}95$

$P(R\mathrm{\mid }B)=0^{\mathrm{\prime }}04,P(\bar{R}\mathrm{\mid }B)=0^{\mathrm{\prime }}96$

$P(R\mathrm{\mid }C)=0^{\mathrm{\prime }}0625,P(\bar{R}\mathrm{\mid }C)=0^{\mathrm{\prime }}9375$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{fin}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vuelo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{retrase.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Por el T.M.ª Probabilidad Total:

$P(R)=P(A\cap R)+P(B\cap R)+P(C\cap R)=P(A)P(R\mathrm{\mid }A)+P(B)P(R\mathrm{\mid }B)+P(C)P(R\mathrm{\mid }C)$

$=\frac{95}{161}\cdot 0^{\mathrm{\prime }}05+\frac{50}{161}\cdot 0^{\mathrm{\prime }}0+\frac{16}{161}\cdot 0^{\mathrm{\prime }}0625$

$=\frac{31}{644}\approx 0^{\mathrm{\prime }}0481$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vuelo}}\mathbf{\text{concreto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{retrasado,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{vuelo}}\mathbf{\text{proceda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Uni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{Europea.}}\mathbf{\text{(5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(B\mathrm{\mid }R)=\frac{P(B\cap R)}{P(R)}=\frac{\frac{50}{161}\cdot 0^{\mathrm{\prime }}04}{\frac{31}{644}}$

$=\frac{8}{31}=0^{\mathrm{\prime }}2581$