Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se tienen tres urnas A, B y C. La urna A contiene 4 bolas rojas y 2 negras, la urna B contiene 3 bolas de cada color y la urna C contiene 6 bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.
b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.
c) (0.5 puntos) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcular la probabilidad de que la segunda sea negra.

Elegir urna y extraer dos bolas seguidas sin reemplazamiento se ve bien en un árbol. Las tres urnas son equiprobables y la composición de cada una fija las ramas siguientes.

$P(A)=P(B)=P(C)={\displaystyle \frac{1}{3}}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja.}}$

Las tres urnas forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total. La urna $C$ no aporta nada, porque solo tiene bolas negras.

$P(R_1)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0$

$={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{6}}={\displaystyle \frac{7}{18}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{negra.}}$

Al extraer sin reemplazamiento, tras sacar una roja quedan cinco bolas en la urna, con una negra menos que al principio en el numerador correspondiente.

$P(R_1\cap N_2)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}$

$={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{8}{30}}+{\displaystyle \frac{9}{30}})={\displaystyle \frac{17}{90}}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{roja,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{negra.}}$

Los dos apartados anteriores son justamente el numerador y el denominador de la probabilidad condicionada.

$P(N_2\mid R_1)={\displaystyle \frac{P(R_1\cap N_2)}{P(R_1)}}={\displaystyle \frac{17\mathrm{/}90}{7\mathrm{/}18}}$

$={\displaystyle \frac{17}{90}}\cdot {\displaystyle \frac{18}{7}}={\displaystyle \frac{17}{35}}=\mathrm{0,4857}$