Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Una empresa comercializa tres tipos de productos A, B y C. Cuatro de cada siete productos son de tipo A, dos de cada siete productos son de tipo B y el resto lo son de tipo C. A la exportación se destina un 40% de los productos tipo A, un 60% de los productos tipo B y un 20% de los productos tipo C. Elegido un producto al azar, se pide:

a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que el producto sea destinado a la exportación.
b) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea del tipo C sabiendo que el producto es destinado a la exportación.

Nombramos los sucesos $A$, $B$ y $C$ según el tipo de producto y $E$ para el hecho de destinarse a la exportación. Los tres tipos forman un sistema completo, porque un producto es de uno y solo uno de ellos.

$P(A)={\displaystyle \frac{4}{7}};P(B)={\displaystyle \frac{2}{7}};P(C)=1-{\displaystyle \frac{4}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{destinado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{exportaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total recorriendo las tres ramas del árbol que acaban en $E$.

$P(E)=P(A)P(E\mid A)+P(B)P(E\mid B)+P(C)P(E\mid C)$

$={\displaystyle \frac{4}{7}}\cdot \mathrm{0,4}+{\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot \mathrm{0,6}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\cdot \mathrm{0,2}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}+\mathrm{1,2}+\mathrm{0,2}}{7}}$

$P(E)={\displaystyle \frac{3}{7}}$

La probabilidad de que un producto elegido al azar se destine a la exportación es $\frac{3}{7}\approx \mathrm{0,4286}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathit{C}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{destinado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{exportaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes con el denominador ya calculado.

$P(C\mid E)={\displaystyle \frac{P(C)P(E\mid C)}{P(E)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{7}\cdot \mathrm{0,2}}{\frac{3}{7}}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{3}}={\displaystyle \frac{1}{15}}$

Sabiendo que el producto se exporta, la probabilidad de que sea del tipo $C$ es $\frac{1}{15}\approx \mathrm{0,067}$.