Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, $A_1$ y $A_2$, de igual probabilidad $0.4$ y se considera $A_3=\overline{A_1\cup A_2}$ (por tanto, la probabilidad de $A_3$ es $0.2$). De cierto suceso $B$ se sabe que $P(B\mid A_1)=P(B\mid A_2)$ y $P(B\mid A_3)=2P(B\mid A_1)$.
Y de un suceso $C$ independiente de $A_1$ se sabe que $P(C\mid A_2)=0.3$ y $P(C\mid A_3)=0.6$. Con estos datos se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de $B$ si $P(B\mid A_1)=0.25$.
b) (1.5 puntos) Calcular la probabilidad de $C$ y determinar si $C$ es independiente de $A_2$.

Los sucesos $A_1$, $A_2$ y $A_3$ forman un sistema completo: los dos primeros son incompatibles y el tercero es justamente lo que queda fuera de su unión.

$P(A_1)=P(A_2)=\mathrm{0,4};P(A_3)=\mathrm{0,2}$





El enunciado dice que las dos primeras condicionadas coinciden y que la tercera es el doble de la primera, así que ya las conocemos todas.

$P(B\mid A_1)=P(B\mid A_2)=\mathrm{0,25};P(B\mid A_3)=2\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,5}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total sobre el sistema completo.

$P(B)=P(B\mid A_1)P(A_1)+P(B\mid A_2)P(A_2)+P(B\mid A_3)P(A_3)$

$P(B)=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,1}$

$P(B)=\mathrm{0,3}$



Volvemos a descomponer sobre el mismo sistema completo, pero ahora la primera rama se sustituye por la condición de independencia con $A_1$.

$P(C\mid A_1)=P(C)$

$P(C)=P(C)P(A_1)+P(C\mid A_2)P(A_2)+P(C\mid A_3)P(A_3)$

$P(C)=\mathrm{0,4}P(C)+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,2}$

$\mathrm{0,6}P(C)=\mathrm{0,24}\Rightarrow P(C)=\mathrm{0,4}$

Para decidir la independencia con $A_2$ comparamos la probabilidad de la intersección con el producto de las probabilidades.

$P(C\cap A_2)=P(C\mid A_2)P(A_2)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,12}$

$P(C)P(A_2)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,16}$

Los dos valores no coinciden, luego $C$ y $A_2$ no son independientes.