Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

A.4. Calificación máxima: 2,5 puntos.

Sabiendo que $P(\bar{A})=\frac{11}{20},P(A\mathrm{\mid }B)-P(B\mathrm{\mid }A)=\frac{1}{24}yP(A\cap \bar{B})=\frac{3}{10}$, se pide:

a) (1,5 puntos) Calcular $P(A\cap B)$ y $P(B)$.
b) (1 punto) Calcular $P(C)$, siendo $C$ otro suceso del espacio muestral, independiente de $A$ y que verifica que $P(A\cup C)=\frac{14}{25}$.

Del primer dato sale la probabilidad de $A$ por el suceso contrario.

$P(A)=1-P(\bar{A})=1-{\displaystyle \frac{11}{20}}={\displaystyle \frac{9}{20}}$

La intersección se obtiene descomponiendo $A$ en la parte que comparte con $B$ y la que no.

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \bar{B})\Rightarrow P(A\cap B)={\displaystyle \frac{9}{20}}-{\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$

Con la intersección ya podemos calcular una de las dos condicionadas, y de ahí la otra por el dato del enunciado.

$P(B\mid A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{3\mathrm{/}20}{9\mathrm{/}20}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(A\mid B)={\displaystyle \frac{1}{24}}+P(B\mid A)={\displaystyle \frac{1}{24}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$

$P(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A\mid B)}}={\displaystyle \frac{3\mathrm{/}20}{3\mathrm{/}8}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$

La probabilidad de la intersección es $\frac{3}{20}$ y la de $B$, $\frac{2}{5}$.





Que $A$ y $C$ sean independientes significa que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades, y eso deja la fórmula de la unión con una sola incógnita.

$P(A\cap C)=P(A)P(C)={\displaystyle \frac{9}{20}}P(C)$

$P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A)P(C)\Rightarrow {\displaystyle \frac{14}{25}}={\displaystyle \frac{9}{20}}+P(C)(1-{\displaystyle \frac{9}{20}})$

${\displaystyle \frac{14}{25}}-{\displaystyle \frac{9}{20}}={\displaystyle \frac{11}{20}}P(C)\Rightarrow {\displaystyle \frac{11}{100}}={\displaystyle \frac{11}{20}}P(C)$

$P(C)={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$