Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Cuestión 4A.

Considere dos urnas, $U_1$ y $U_2$, tales que en $U_1$ hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de $U_1$, depositarla en $U_2$ y, a continuación, sacar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:

a) [0,5] Salga una bola roja en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
b) [0,5] Salga una bola verde en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.
c) [0,75] Salga una bola verde en $U_2$.
d) [0,75] Haya salido roja en $U_1$ sabiendo que ha salido roja en $U_2$.

Llamamos $R_1$ y $V_1$ a los sucesos "la bola extraída de $U_1$ es roja" y "es verde", y $R_2$ y $V_2$ a los análogos en la segunda extracción. Como $U_1$ contiene 2 rojas y 3 verdes:

$P(R_1)={\displaystyle \frac{2}{5}},P(V_1)={\displaystyle \frac{3}{5}}$

La urna $U_2$ tenía 6 rojas y 3 verdes, y al recibir la bola pasa a tener 10, con una composición que depende del color trasvasado. Ese es el reparto que recoge el árbol.





Si la bola trasvasada es roja, la segunda urna queda con 7 rojas y 3 verdes sobre un total de 10, y basta aplicar la regla de Laplace.

$P(R_2\mid R_1)={\displaystyle \frac{7}{10}}=\mathrm{0,7}$

La probabilidad de sacar roja de $U_2$ habiendo sacado roja de $U_1$ es $\mathrm{0,7}$.



En esa misma urna las verdes siguen siendo 3 de las 10, y además el suceso es el contrario del anterior.

$P(V_2\mid R_1)=1-P(R_2\mid R_1)=1-{\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}$

La probabilidad pedida es $\mathrm{0,3}$.



Ahora no sabemos qué bola se trasvasó, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sobre el color de la primera. Si se trasvasó verde, $U_2$ queda con 6 rojas y 4 verdes.

$P(V_2)=P(R_1)P(V_2\mid R_1)+P(V_1)P(V_2\mid V_1)$

$P(V_2)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{6+12}{50}}={\displaystyle \frac{18}{50}}={\displaystyle \frac{9}{25}}$

La probabilidad de que la bola extraída de $U_2$ sea verde es ${\displaystyle \frac{9}{25}}=\mathrm{0,36}$.



Se pregunta por la primera extracción conociendo el resultado de la segunda, es decir, por una probabilidad a posteriori: aplicamos el teorema de Bayes. El denominador es el suceso contrario del apartado anterior.

$P(R_2)=1-P(V_2)=1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}$

$P(R_1\mid R_2)={\displaystyle \frac{P(R_1)P(R_2\mid R_1)}{P(R_2)}}={\displaystyle \frac{\frac{2}{5}\cdot \frac{7}{10}}{\frac{16}{25}}}$

$P(R_1\mid R_2)={\displaystyle \frac{14\mathrm{/}50}{32\mathrm{/}50}}={\displaystyle \frac{14}{32}}={\displaystyle \frac{7}{16}}$

Sabiendo que la segunda bola ha sido roja, la probabilidad de que la primera también lo fuera es ${\displaystyle \frac{7}{16}}=\mathrm{0,4375}$.