Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Cuestión 4A.

En un cine hay tres salas. En la sala $S_1$ hay 240 espectadores, en la sala $S_2$ hay 180 y en la sala $S_3$ hay 80. Se sabe que la película de la sala $S_1$ gusta al 40 % de los espectadores, la de la sala $S_2$ al 50 % y la de la sala $S_3$ al 90 %. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.

a) [1] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.
b) [0,5] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala $S_3$.
c) [1] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala $S_3$ si le ha gustado.

Llamamos $S_1$, $S_2$ y $S_3$ a los sucesos "el espectador elegido estaba en esa sala" y $G$ a "le ha gustado la película". Las tres salas forman un sistema completo de sucesos, y como en total hay $240+180+80=500$ espectadores:

$P(S_1)={\displaystyle \frac{240}{500}}=\mathrm{0,48},P(S_2)={\displaystyle \frac{180}{500}}=\mathrm{0,36},P(S_3)={\displaystyle \frac{80}{500}}=\mathrm{0,16}$

$P(G\mid S_1)=\mathrm{0,40},P(G\mid S_2)=\mathrm{0,50},P(G\mid S_3)=\mathrm{0,90}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{gustado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pel}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula.}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $G$.

$P(G)=P(S_1)P(G\mid S_1)+P(S_2)P(G\mid S_2)+P(S_3)P(G\mid S_3)$

$P(G)=\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,40}+\mathrm{0,36}\cdot \mathrm{0,50}+\mathrm{0,16}\cdot \mathrm{0,90}$

$P(G)=\mathrm{0,192}+\mathrm{0,180}+\mathrm{0,144}=\mathrm{0,516}$

A algo más de la mitad de los espectadores, un $\mathrm{51,6}\mathrm{\%}$, le ha gustado la película que vio.



Es un dato directo del enunciado: dentro de la sala $S_3$ la película gusta al $90\mathrm{\%}$.

$P(G\mid S_3)=\mathrm{0,90}$

La probabilidad de que le haya gustado sabiendo que estuvo en la tercera sala es $\mathrm{0,90}$.



Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes con el denominador ya calculado en el apartado a).

$P(S_3\mid G)={\displaystyle \frac{P(S_3)P(G\mid S_3)}{P(G)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,16}\cdot \mathrm{0,90}}{\mathrm{0,516}}}$

$P(S_3\mid G)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,144}}{\mathrm{0,516}}}={\displaystyle \frac{12}{43}}\approx \mathrm{0,2791}$

De los espectadores satisfechos, cerca de un $28\mathrm{\%}$ salió de la sala $S_3$, bastante más que el $16\mathrm{\%}$ que representa esa sala en el total.