Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Antonio y Benito, compañeros de piso, lanzan alternadamente un dardo cinco veces a una diana para decidir quién friega. Friega quien menos veces acierte el centro de la diana. En caso de empate, friegan juntos. Si Antonio acierta el centro de la diana en el $25\mathrm{\%}$ de sus lanzamientos y Benito en el $30\mathrm{\%}$, se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento para decidir quién friega.
b) (1.5 puntos) Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de 60 lanzamientos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haga}}\mathbf{\text{falta}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{lanzamiento}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{decidir}}\mathbf{\text{qui}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{friega.}}$

Friega quien menos centros acierte, y quedan dos rondas por delante después de la tercera. Para que la cosa esté decidida tras tres lanzamientos, uno de los dos tiene que haber acertado los tres y el otro haber fallado los tres: con cualquier otro reparto el que va por detrás aún podría alcanzar o superar al otro.

$P(\text{acertar}{)}_A=\mathrm{0,25};P(\text{acertar}{)}_B=\mathrm{0,30}$

Los lanzamientos son independientes, así que cada caso es un producto de probabilidades, y los dos casos son incompatibles.

$P={\mathrm{0,25}}^3\cdot {\mathrm{0,70}}^3+{\mathrm{0,75}}^3\cdot {\mathrm{0,30}}^3$

$=\mathrm{0,005359}+\mathrm{0,011391}=\mathrm{0,016750}$

La probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento es de $\mathrm{0,0168}$, es decir, menos de un $2\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Aproximando}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{normal,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Antonio}}\mathbf{\text{falle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diana}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{terceras}}\mathbf{\text{partes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{lanzamientos.}}$

Dos terceras partes de 60 son 40 fallos, y fallar al menos 40 de 60 equivale a acertar como mucho 20. Trabajamos con los aciertos, que siguen una binomial.

$X\sim B(60;\mathrm{0,25})\Rightarrow \mu =np=15;\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{60\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,75}}=\mathrm{3,35}$

Como $np$ y $nq$ superan holgadamente 5, la binomial se puede aproximar por una normal.

$X^{\mathrm{\prime }}\sim N(15;\mathrm{3,35})$

Al pasar de una variable discreta a una continua aplicamos la corrección de continuidad, sumando media unidad al extremo.

$P(X\le 20)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{20,5})=P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{20,5}-15}{\mathrm{3,35}}})=P(Z\le \mathrm{1,64})$

$P(Z\le \mathrm{1,64})=\mathrm{0,9495}$



La probabilidad de que Antonio falle al menos 40 de los 60 lanzamientos es de $\mathrm{0,9495}$, casi un $95\mathrm{\%}$.