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Examen de Matemáticas II de Comunidad de Madrid 2024 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Comunidad de Madrid, convocatoria extraordinaria de 2024. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro

λ

(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ λ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & λ - 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ λ \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

,

se pide:
a) (1.5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores de

λ

.
b) (1 punto) Resolver el sistema en el caso

λ = 1

y encontrar, si es posible, una solución con

x = 5

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Derivadas

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

a) (1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 cuya gráfica sea tangente a la recta

y = x

en el punto

(0, 0)

.
b) (1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 que tenga un máximo relativo en el punto

(1, 1)

.
c) (0.5 puntos) Justifique si una función polinómica de grado 2 puede tener dos extremos relativos en

R

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean los puntos

P (1, - 1, 3)

Q (2, 1, - 1)

:

a) (1 punto) Determine una ecuación del plano respecto del cual ambos puntos son simétricos.
b) (1.5 puntos) El segmento

P Q

es uno de los tres lados del triángulo cuya suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados es

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y el tercer vértice se encuentra en la recta

r \equiv x - 2 = y = z

. Calcule las coordenadas del tercer vértice sabiendo que ninguna de sus coordenadas es nula.

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Probabilidad

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles,

A_{1}

A_{2}

, de igual probabilidad

0.4

y se considera

A_{3} = \overline{A_{1} \cup A_{2}}

(por tanto, la probabilidad de

A_{3}

0.2

). De cierto suceso

B

se sabe que

P (B ∣ A_{1}) = P (B ∣ A_{2})

P (B ∣ A_{3}) = 2 P (B ∣ A_{1})

.
Y de un suceso

C

independiente de

A_{1}

se sabe que

P (C ∣ A_{2}) = 0.3

P (C ∣ A_{3}) = 0.6

. Con estos datos se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de

B

P (B ∣ A_{1}) = 0.25

.
b) (1.5 puntos) Calcular la probabilidad de

C

y determinar si

C

es independiente de

A_{2}

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Como es bien sabido, la siguiente igualdad de determinantes

\det (A + B) = \det A + \det B

no es cierta en general.

a) (0.75 puntos) Si

A

B

son dos matrices para las que

\det (A + B) = \det A + \det B

, pruebe que entonces

\det ((A + B)^{2}) = \det (A^{2}) + \det (B^{2}) + 2 \det (A B)

.

b) (1 punto) Dadas las matrices

C = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ α & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & α \end{array}), D = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ - 1 & 2 & 1 \end{array})

,

determine el único valor de

α

con el que sí se cumple la igualdad

\det (C + D) = \det C + \det D

.

c) (0.75 puntos) Para el valor

α = - 1

, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a

C

como matriz de coeficientes.

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Integrales y Áreas

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función

f (x) = x^{3} - 3 x

, se pide:

a) (0.75 puntos) Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) (1.75 puntos) Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de

f (x)

y de

g (x) = x (x - 3)

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Rectas y Planos

B.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Dado el punto

P (5, - 1, 2)

y las rectas:

r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 0}{1}, s \equiv {\begin{cases} x - y = 5 \\ x + z = 3 \end{cases}

se pide:
a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de ambas rectas y hallar la distancia entre ellas.
b) (1.5 puntos) Determinar una ecuación de la recta que pasa por

P

y corta perpendicularmente a la recta

r

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Probabilidad

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Antonio y Benito, compañeros de piso, lanzan alternadamente un dardo cinco veces a una diana para decidir quién friega. Friega quien menos veces acierte el centro de la diana. En caso de empate, friegan juntos. Si Antonio acierta el centro de la diana en el

25 %

de sus lanzamientos y Benito en el

30 %

, se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento para decidir quién friega.
b) (1.5 puntos) Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de 60 lanzamientos.

Ver la solución del ejercicio 8