Examen de Matemáticas II de Comunidad de Madrid 2025 (convocatoria ordinaria)

Pregunta 1.1. (2,5 puntos) En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que:

a) El equipo anotó $80$ puntos con un acierto del $80\mathrm{\%}$ en tiros de uno, del $50\mathrm{\%}$ en tiros de dos y del $40\mathrm{\%}$ en tiros de tres.

b) La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos.

c) El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

Pregunta 1.2. Sean la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 2& 3& 0\\ 3& 2& 2\end{array}\right)$ e $I$ la matriz identidad de orden $3$. Se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular el polinomio $P(\lambda )=\det (A-\lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio.

b) (1,25 puntos) Para $\lambda =5$, calcular un vector no nulo $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ que satisfaga que $(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$.

Pregunta 2. Un muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva $f(x)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi x}{9}}\right)+2$ para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.

a) (0,75 puntos) Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función $f(x)$ en el intervalo $[0,12]$. ¿Está la curva en este intervalo $[0,12]$ contenida completamente en el muro?

b) (1,25 puntos) Halle el área que tienen que pintar de cada color.

c) (0,5 puntos) ¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva $f(x)$?

Pregunta 3.1. Dados la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{0}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$ y el plano $\pi :x+2y-3z=1$, se pide:

a) (0,75 puntos) Hallar una ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

b) (0,75 puntos) Hallar una ecuación de la recta contenida en $\pi$ que corta perpendicularmente a $r$.

c) (1 punto) Calcular los puntos de la recta $r$ cuya distancia al plano $\pi$ es $\sqrt{14}$.

Pregunta 3.2. Sean el punto $P(0,1,1)$ y el plano $\pi :x+y=2$. Se pide:

a) (0,5 puntos) Hallar la distancia del punto $P$ al plano $\pi$.

b) (1 punto) Determinar el punto $Q$ del plano $\pi$ cuya distancia a $P$ es igual que la distancia de $P$ a $\pi$.

c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por $P$ y los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.

Pregunta 4.1. Sea $E=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$ un espacio muestral y $P$ una medida de probabilidad en $E$ definida por: $P(7)=P(3)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ y con el resto de sucesos elementales equiprobables.

Se consideran los sucesos $A=\{7,11,13,19\}$, $B=\{2,5,7,13,17\}$ y $C=\{3,5,7,11,13\}$. Se pide calcular:

a) (1,25 puntos) $P(\overline{(A-C)}\cap B)$.

b) (1,25 puntos) $P((A\cap B)\mid \bar{C})$.

Pregunta 4.2. Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el $20\mathrm{\%}$ de la población tiene entre $14$ y $24$ años, el $50\mathrm{\%}$ entre $25$ y $64$ y el resto más de $64$ años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el $74\mathrm{\%}$ de sus ciudadanos de entre $14$ y $24$ es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el $\mathrm{65,8}\mathrm{\%}$ entre los de $25$ a $64$ y al $\mathrm{53,7}\mathrm{\%}$ entre los mayores de $64$. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de $14$ años o más, se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.

b) (1,25 puntos) Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre $25$ y $64$ años.