Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Pregunta 3.1. Dados la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{0}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$ y el plano $\pi :x+2y-3z=1$, se pide:

a) (0,75 puntos) Hallar una ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

b) (0,75 puntos) Hallar una ecuación de la recta contenida en $\pi$ que corta perpendicularmente a $r$.

c) (1 punto) Calcular los puntos de la recta $r$ cuya distancia al plano $\pi$ es $\sqrt{14}$.

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y un vector director; el cero del denominador central no es una división por cero, sino que la segunda componente del director es nula. Del plano leemos su vector normal.

$A(1,0,2)\in r,{\vec{v}}_r=(2,0,1),{\vec{n}}_{\pi }=(1,2,-3)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Un plano que contenga a $r$ lleva la dirección ${\vec{v}}_r$; para ser perpendicular a $\pi$ debe llevar además la de ${\vec{n}}_{\pi }$. Su normal es entonces el producto vectorial de las dos.

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 0& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\mid =(-2,7,4)$

Imponemos que pase por $A$ y cambiamos de signo para dejar positivo el primer coeficiente.

$-2(x-1)+7y+4(z-2)=0\Rightarrow \sigma :2x-7y-4z+6=0$

Se comprueba que ${\vec{n}}_{\sigma }\cdot {\vec{n}}_{\pi }=-2+14-12=0$, luego los dos planos son efectivamente perpendiculares.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}$

Si la recta buscada está en $\pi$ y corta a $r$, el punto de corte tiene que ser el punto por el que $r$ atraviesa el plano. Lo hallamos sustituyendo la recta en paramétricas.

$r:(1+t\cdot 2,0,2+t)$

$(1+2t)+2\cdot 0-3(2+t)=1\Rightarrow -5-t=1\Rightarrow t=-6$

$P(-11,0,-4)$

Su vector director debe ser perpendicular a ${\vec{n}}_{\pi }$, para que la recta viva dentro del plano, y perpendicular a ${\vec{v}}_r$, para que el corte sea ortogonal. De nuevo lo da el producto vectorial.

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& -3\\ 2& 0& 1\end{array}\mid =(2,-7,-4)$

$s\equiv {\displaystyle \frac{x+11}{2}}={\displaystyle \frac{y}{-7}}={\displaystyle \frac{z+4}{-4}}$



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{es}}\mathrm{<msqrt><mn\; mathvariant="bold">14</mn></msqrt>}\mathbf{\text{.}}$

Tomamos un punto genérico de la recta, escribimos su distancia al plano en función del parámetro e igualamos al valor pedido.

$X(1+2t,0,2+t)$

$d(X,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(1+2t)+0-3(2+t)-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+(-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-6-t\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-6-t\mathrm{\mid }}{\sqrt{14}}}=\sqrt{14}\Rightarrow \mathrm{\mid }-6-t\mathrm{\mid }=14$

El valor absoluto abre dos casos, uno por cada lado del plano.

$-6-t=14\Rightarrow t=-20;-6-t=-14\Rightarrow t=8$

$t=-20\Rightarrow X_1(-39,0,-18);t=8\Rightarrow X_2(17,0,10)$

Los dos puntos de $r$ que distan $\sqrt{14}$ del plano son $(-39,0,-18)$ y $(17,0,10)$, situados uno a cada lado de $\pi$.