Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Pregunta 4.2. Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el $20\mathrm{\%}$ de la población tiene entre $14$ y $24$ años, el $50\mathrm{\%}$ entre $25$ y $64$ y el resto más de $64$ años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el $74\mathrm{\%}$ de sus ciudadanos de entre $14$ y $24$ es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el $\mathrm{65,8}\mathrm{\%}$ entre los de $25$ a $64$ y al $\mathrm{53,7}\mathrm{\%}$ entre los mayores de $64$. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de $14$ años o más, se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.

b) (1,25 puntos) Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre $25$ y $64$ años.

Nombramos los sucesos: $J$, tener entre 14 y 24 años; $M$, entre 25 y 64; $V$, más de 64, y $L$, ser lector habitual. Los tres primeros forman un sistema completo de sucesos, porque son incompatibles dos a dos y cubren toda la población de 14 años o más.

$P(J)=\mathrm{0,20};P(M)=\mathrm{0,50};P(V)=1-\mathrm{0,20}-\mathrm{0,50}=\mathrm{0,30}$

$P(L\mid J)=\mathrm{0,740};P(L\mid M)=\mathrm{0,658};P(L\mid V)=\mathrm{0,537}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{lector}}\mathbf{\text{habitual.}}$

Como los tres grupos de edad forman un sistema completo, aplicamos el teorema de la probabilidad total: se recorre cada rama del árbol que acaba en $L$ y se suman los productos.

$P(L)=P(J)P(L\mid J)+P(M)P(L\mid M)+P(V)P(L\mid V)$

$P(L)=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,740}+\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,658}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,537}$

$P(L)=\mathrm{0,148}+\mathrm{0,329}+\mathrm{0,1611}=\mathrm{0,6381}$

La probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea lector habitual es $\mathrm{0,6381}$, es decir, un $\mathrm{63,81}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{lector}}\mathbf{\text{habitual,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{64}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

Ahora se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(M\mid \bar{L})={\displaystyle \frac{P(M)P(\bar{L}\mid M)}{P(\bar{L})}}$

Calculamos cada pieza. La probabilidad de no leer dentro del grupo intermedio es la complementaria del dato del enunciado, y el denominador es la complementaria del apartado anterior.

$P(\bar{L}\mid M)=1-\mathrm{0,658}=\mathrm{0,342}\Rightarrow P(M)P(\bar{L}\mid M)=\mathrm{0,50}\cdot \mathrm{0,342}=\mathrm{0,171}$

$P(\bar{L})=1-\mathrm{0,6381}=\mathrm{0,3619}$

$P(M\mid \bar{L})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,171}}{\mathrm{0,3619}}}=\mathrm{0,4725}$

Si el ciudadano elegido no es lector habitual, la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años es de un $\mathrm{47,25}\mathrm{\%}$, algo menor que el $50\mathrm{\%}$ de partida, porque ese grupo lee más que el de los mayores de 64 años.