Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Pregunta 3.2. Sean el punto $P(0,1,1)$ y el plano $\pi :x+y=2$. Se pide:

a) (0,5 puntos) Hallar la distancia del punto $P$ al plano $\pi$.

b) (1 punto) Determinar el punto $Q$ del plano $\pi$ cuya distancia a $P$ es igual que la distancia de $P$ a $\pi$.

c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por $P$ y los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Escribimos el plano en forma general para leer su vector normal y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$\pi :x+y-2=0\Rightarrow {\vec{n}}_{\pi }=(1,1,0)$

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }0+1-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

La distancia del punto al plano es $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,71}$ unidades de longitud.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{Q}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathit{P}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

La distancia de un punto a un plano es, por definición, la menor de sus distancias a los puntos del plano, y ese mínimo se alcanza en uno solo: el pie de la perpendicular. Así que $Q$ es ese pie y es único. Trazamos la recta perpendicular por $P$, cuyo director es el normal del plano.

$(x,y,z)=(0,1,1)+t(1,1,0)=(t,1+t,1)$

$t+(1+t)=2\Rightarrow t={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$Q({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}},1)$

Comprobamos que la distancia coincide con la del apartado anterior.

$d(P,Q)=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{coordenados.}}$

Buscamos los cortes del plano con cada eje anulando las otras dos coordenadas.

$y=z=0\Rightarrow x=2\Rightarrow A(2,0,0);x=z=0\Rightarrow y=2\Rightarrow B(0,2,0)$

Con el eje $OZ$ la ecuación quedaría $0=2$, imposible: el plano es paralelo a ese eje, porque su normal $(1,1,0)$ es perpendicular a $(0,0,1)$. Hay, pues, solo dos cortes, que con $P$ determinan el triángulo.

$\overrightarrow{PA}=(2,-1,-1),\overrightarrow{PB}=(0,1,-1)$

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& -1\\ 0& 1& -1\end{array}\mid =(2,2,2)$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{12}=\sqrt{3}$

El área del triángulo es de $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,73}$ unidades de superficie.