Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(3A) (2,5 puntos) Halla el punto $P^{\mathrm{\prime }}$ simétrico de $P(4,-3,0)$ respecto de la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-2,0,1)$ y $B(-2,-1,0)$.

El punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$ es el que está al otro lado de ella, alineado con $P$ y perpendicularmente a $r$. Se calcula en tres fases: i) escribimos la recta, ii) hallamos el pie $Q$ de la perpendicular trazada desde $P$, y iii) imponemos que $Q$ sea el punto medio de $P$ y $P^{\mathrm{\prime }}$.

i) La recta pasa por $A$ y lleva la dirección del vector que une los dos puntos dados:

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{AB}=(-2,-1,0)-(-2,0,1)=(0,-1,-1)$

$r:\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-t\\ z=1-t\end{array},t\in \mathbb{R}$

ii) Un punto genérico de la recta es $Q(-2,-t,1-t)$. El vector $\overrightarrow{PQ}$ ha de ser perpendicular a la recta, es decir, su producto escalar con el director debe anularse.

$\overrightarrow{PQ}=(-2,-t,1-t)-(4,-3,0)=(-6,3-t,1-t)$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=0\Rightarrow (-6)\cdot 0+(3-t)(-1)+(1-t)(-1)=0$

$-3+t-1+t=0\Rightarrow 2t=4\Rightarrow t=2$

$Q(-2,-2,-1)$

iii) Basta razonar que $Q$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$. Así:

$Q=({\displaystyle \frac{4+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{-3+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{0+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})$

$\{\begin{array}{l}-2={\displaystyle \frac{4+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P_x^{\mathrm{\prime }}=-8\\ -2={\displaystyle \frac{-3+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P_y^{\mathrm{\prime }}=-1\\ -1={\displaystyle \frac{P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P_z^{\mathrm{\prime }}=-2\end{array}$

Comprobamos que $P$ y $P^{\mathrm{\prime }}$ equidistan de la recta, como debe ocurrir con dos puntos simétricos:

$\mid \overrightarrow{PQ}\mid =\sqrt{36+1+1}=\sqrt{38}=\mid \overrightarrow{Q{P}^{\mathrm{\prime }}}\mid$

El punto simétrico pedido es $P^{\mathrm{\prime }}(-8,-1,-2)$.