Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

TERCER EJERCICIO (2,5 puntos). Responde solo a uno de los dos apartados.
(3B) Sean $\pi$ el plano que pasa por los puntos $A(2,3,4)$, $B(3,-1,-2)$, $C(5,-1,2)$ y $r$ la recta que pasa por los puntos $D(6,-5,-4)$, $E(7,1,4)$.

(a) (1,5 puntos) Calcula el ángulo entre el plano $\pi$ y la recta $r$, expresando el resultado en grados, minutos y segundos.
(b) (1 punto) En caso de que $r$ y $\pi$ se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$.

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{expresando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{grados,}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{segundos.}}$

Necesitamos el vector normal del plano y el vector director de la recta. El primero se obtiene con el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano.

$\overrightarrow{AB}=(3,-1,-2)-(2,3,4)=(1,-4,-6)$

$\overrightarrow{AC}=(5,-1,2)-(2,3,4)=(3,-4,-2)$

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -4& -6\\ 3& -4& -2\end{array}\mid =(-16,-16,8)$

Dividiendo entre $8$ para simplificar:

${\vec{n}}_{\pi }=(-2,-2,1)$

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{DE}=(7,1,4)-(6,-5,-4)=(1,6,8)$

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el director de la recta y el normal del plano, de modo que en la fórmula aparece el seno en lugar del coseno.

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1\cdot (-2)+6\cdot (-2)+8\cdot 1=-2-12+8=-6$

$\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+36+64}=\sqrt{101},\mid {\vec{n}}_{\pi }\mid =\sqrt{4+4+1}=3$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-6\mathrm{\mid }}{3\sqrt{101}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{101}}}=\mathrm{0,1990}$

$\alpha =\arcsin \mathrm{0,1990}={\mathrm{11,4789}}^{\circ }$

Pasamos la parte decimal a minutos y segundos:

$\mathrm{0,4789}\cdot 60={\mathrm{28,73}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{0,73}\cdot 60={44}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

El ángulo que forman la recta y el plano es de ${11}^{\circ }{28}^{\mathrm{\prime }}{44}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corten,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{contrario,}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

El ángulo obtenido no es nulo, luego la recta no es paralela al plano y forzosamente lo corta en un punto. Escribimos primero la ecuación del plano, imponiendo que pase por $A(2,3,4)$:

$\pi :-2x-2y+z+D=0$

$-2\cdot 2-2\cdot 3+4+D=0\Rightarrow -6+D=0\Rightarrow D=6$

$\pi \equiv 2x+2y-z-6=0$

Comprobamos que los otros dos puntos también lo verifican:

$B(3,-1,-2):6-2+2-6=0;C(5,-1,2):10-2-2-6=0$

Escribimos ahora la recta en paramétricas y sustituimos en el plano:

$r:\{\begin{array}{l}x=6+t\\ y=-5+6t\\ z=-4+8t\end{array}$

$2(6+t)+2(-5+6t)-(-4+8t)-6=0$

$12+2t-10+12t+4-8t-6=0\Rightarrow 6t=0\Rightarrow t=0$

El punto de corte es el que corresponde a $t=0$, es decir, el propio punto $D$ del enunciado, que ya estaba en el plano:

$r\cap \pi =D(6,-5,-4)$