Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

CUARTO EJERCICIO (2 puntos). Responde solo a una de las opciones.
(4B) Sean los puntos $A=(1,1,2)$ y $B=(-1,0,3)$.

(a) (1,5 puntos) Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que cumple que $A$ y $B$ son simétricos con respecto a $\pi$.
(b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la distancia de $A$ a $\pi$?

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cumple}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Que dos puntos sean simétricos respecto de un plano significa que el plano es el plano mediador del segmento que los une: lo corta en su punto medio y es perpendicular a él. Esas dos condiciones dan, respectivamente, el vector normal y un punto del plano, así que se procede en dos fases.

i) El plano es perpendicular al segmento $\overline{AB}$, luego el vector que une los dos puntos sirve de vector normal:

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,0,3)-(1,1,2)=(-2,-1,1)$

ii) El plano pasa por el punto medio del segmento:

$M={\displaystyle \frac{A+B}{2}}=({\displaystyle \frac{1+(-1)}{2}},{\displaystyle \frac{1+0}{2}},{\displaystyle \frac{2+3}{2}})=(0,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$

Con un punto y el vector normal se escribe la ecuación del plano:

$\pi :-2(x-0)-1(y-{\displaystyle \frac{1}{2}})+1(z-{\displaystyle \frac{5}{2}})=0$

$-2x-y+{\displaystyle \frac{1}{2}}+z-{\displaystyle \frac{5}{2}}=0\Rightarrow -2x-y+z-2=0$

Cambiando de signo para dejar positivo el primer coeficiente:

$\pi \equiv 2x+y-z+2=0$

Comprobamos sustituyendo los dos puntos en el primer miembro:

$A(1,1,2):2\cdot 1+1-2+2=3;B(-1,0,3):2\cdot (-1)+0-3+2=-3$

Los valores son opuestos, lo que confirma que $A$ y $B$ quedan a distinto lado del plano y a la misma distancia de él.

El plano pedido es $\pi \equiv 2x+y-z+2=0$.



$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{?}}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano con el plano obtenido en el apartado anterior.

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2\cdot 1+1-2+2\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}}$

$={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\approx \mathrm{1,22}\text{ u}$

El resultado se puede comprobar sin usar la ecuación del plano: al ser $A$ y $B$ simétricos, el plano corta al segmento por su mitad, de modo que la distancia buscada es la mitad de la longitud de $\overline{AB}$.

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+1^2}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$

La distancia del punto $A$ al plano $\pi$ es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ unidades.