Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Sea $r$ la recta que pasa por el origen y por $P^{\mathrm{\prime }}$, siendo $P^{\mathrm{\prime }}$ el punto simétrico de $P(1,0,1)$ con respecto al punto $Q(0,1,0)$. Se pide:

4.1.1. Obtenga $P^{\mathrm{\prime }}$ y las ecuaciones paramétricas de $r$.

4.1.2. Determine la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$.

4.2. Considérense los puntos $P(1,0,1)$, $Q(0,1,0)$ y $R(1,1,1)$.

4.2.1. Demuestre que $P$, $Q$ y $R$ no están alineados y obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por ellos.

4.2.2. Calcule el valor o valores de $a$ que hacen que la distancia del punto $S(a,0,0)$ a ese plano $\pi$ sea igual a $\sqrt{2}$ unidades de longitud.

El examen permite elegir entre el apartado 4.1 y el 4.2; se resuelven los dos.





Que $P^{\mathrm{\prime }}$ sea el simétrico de $P$ respecto del punto $Q$ significa que $Q$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$.

$Q=({\displaystyle \frac{1+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{0+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})=(0,1,0)$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}=0\Rightarrow P_x^{\mathrm{\prime }}=-1\\ {\displaystyle \frac{P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}=1\Rightarrow P_y^{\mathrm{\prime }}=2\\ {\displaystyle \frac{1+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}=0\Rightarrow P_z^{\mathrm{\prime }}=-1\end{array}\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(-1,2,-1)$

La recta $r$ pasa por el origen y por $P^{\mathrm{\prime }}$, de modo que un vector director suyo es

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}=(-1,2,-1)-(0,0,0)=(-1,2,-1)$

y sus ecuaciones paramétricas, tomando el origen como punto de paso, son:

$r:\{\begin{array}{l}x=-\lambda \\ y=2\lambda \\ z=-\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{4.1.2.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta es un vector normal del plano.

${\vec{n}}_{\sigma }={\vec{v}}_r=(-1,2,-1)\Rightarrow \sigma :-x+2y-z+D=0$

Determinamos $D$ con la condición de que el origen pertenece al plano.

$O(0,0,0)\in \sigma \Rightarrow -0+2\cdot 0-0+D=0\Rightarrow D=0$

Finalmente, $\sigma :-x+2y-z=0$, o lo que es lo mismo, $\sigma :x-2y+z=0$.



$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathit{P}\mathbf{\text{,}}\mathit{Q}\mathbf{\text{y}}\mathit{R}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{alineados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{ellos.}}$

Tres puntos están alineados cuando los vectores que determinan son proporcionales. Calculamos esos vectores y su producto vectorial, que además nos servirá de vector normal del plano.

$\overrightarrow{PQ}=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)$

$\overrightarrow{PR}=(1,1,1)-(1,0,1)=(0,1,0)$

$\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =(1,0,-1)$

Como el producto vectorial no es el vector nulo, $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PR}$ son linealmente independientes y, por tanto, los tres puntos no están alineados: determinan un único plano.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,0,-1)\Rightarrow \pi :x-z+D=0$

$P(1,0,1)\in \pi \Rightarrow 1-1+D=0\Rightarrow D=0$

Finalmente, $\pi :x-z=0$. Se comprueba que los otros dos puntos también lo verifican: $0-0=0$ para $Q$ y $1-1=0$ para $R$.













Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano sobre $\pi :x-z=0$.

$d(S,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$

$d(S,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a-0\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}$





Imponemos ahora la condición del enunciado.

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=2\Rightarrow a=\pm 2$

Hay por tanto dos puntos que cumplen lo pedido, $S(2,0,0)$ y $S(-2,0,0)$, situados uno a cada lado del plano $\pi$ y ambos a $\sqrt{2}$ unidades de longitud de él.