Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$, determinados respectivamente por las ecuaciones ${\pi }_1:x+y=3$ y ${\pi }_2:x-z=-2$.

a) Encuentre la ecuación general ($Ax+By+Cz+D=0$) del plano ${\pi }_3$, que es perpendicular a ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$, y que pasa por el punto $P=(4,1,2)$. [0,75 puntos]
b) Sea $r$ la recta de intersección de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$. Calcule la ecuación vectorial de la recta $r$. [0,75 puntos]
c) Calcule el punto $Q$ de la recta $r$ que está más cerca del punto $P$. [1 punto]

Si ${\pi }_3$ es perpendicular a los otros dos planos, su vector normal es perpendicular a los vectores normales de ambos, y un vector perpendicular a dos vectores dados es su producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(1,1,0),{\vec{n}}_2=(1,0,-1)$

${\vec{n}}_3={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =(-1,1,-1)$

${\pi }_3:-x+y-z+D=0$

$P(4,1,2)\in {\pi }_3\Rightarrow -4+1-2+D=0\Rightarrow D=5$

${\pi }_3:-x+y-z+5=0\text{o, cambiando de signo,}{\pi }_3:x-y+z-5=0$

El plano pedido es ${\pi }_3:x-y+z-5=0$.



Para escribir la ecuación vectorial necesitamos un punto de la recta y un vector director. El vector director es perpendicular a los dos normales, es decir, el mismo producto vectorial del apartado anterior.

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=(-1,1,-1)$

Un punto se obtiene dando un valor a una de las incógnitas en el sistema formado por los dos planos. Tomamos $z=0$.

$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-z=-2\end{array}\stackrel{z=0}{\to }\{\begin{array}{l}x=-2\\ -2+y=3\Rightarrow y=5\end{array}\Rightarrow P_0(-2,5,0)$

$r:(x,y,z)=(-2,5,0)+t(-1,1,-1),t\in \mathbb{R}$

La ecuación vectorial de $r$ es la anterior; el vector director se puede tomar también como $(1,-1,1)$, que es proporcional.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{Q}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{cerca}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El punto de $r$ más próximo a $P$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$. Y aquí no hay que construir nada nuevo: el plano ${\pi }_3$ del apartado a) pasa por $P$ y tiene por normal el vector director de $r$, luego es perpendicular a $r$. Basta cortarlo con la recta.

$Q\in r:(-2-t,5+t,-t)$





Sustituimos las coordenadas de $Q$ en la ecuación de ${\pi }_3$ y despejamos el parámetro.

$(-2-t)-(5+t)+(-t)-5=0$

$-2-t-5-t-t-5=0\Rightarrow -3t-12=0\Rightarrow t=-4$

$x=-2-(-4)=2,y=5+(-4)=1,z=-(-4)=4$

$Q(2,1,4)$

Comprobamos que $Q$ está en los dos planos que definen la recta: $2+1=3$ y $2-4=-2$.

La distancia mínima vale, además,

$d(P,r)=\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(2-4,1-1,4-2)\mathrm{\mid }=\sqrt{(-2{)}^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{ u}$

El punto de la recta $r$ más próximo a $P$ es $Q(2,1,4)$, y está a $2\sqrt{2}$ unidades de $P$.