Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Un avión se desplaza desde un punto $A=(0,3,1)$ hacia una plataforma plana de ecuación $\pi :x-2y+z=1$ siguiendo una recta $r$ paralela al vector $\vec{v}=(1,-1,0)$.

a) Calcule las coordenadas del punto de contacto $B$ del avión con el plano y la distancia recorrida. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación general del plano perpendicular a la plataforma y que contiene la recta $r$ seguida por el avión desde el punto $A$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{contacto}}\mathit{B}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{recorrida.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La trayectoria del avión es la recta que pasa por $A$ con vector director $\vec{v}$, así que empezamos escribiéndola en paramétricas.

$r:\{\begin{array}{l}x=0+t\\ y=3-t\\ z=1\end{array}t\in \mathbb{R}$

El punto de contacto es la intersección de esa recta con el plano: sustituimos y despejamos el parámetro.

$t-2(3-t)+1=1\Rightarrow t-6+2t+1=1\Rightarrow 3t=6\Rightarrow t=2$

$x=2,y=3-2=1,z=1\Rightarrow B(2,1,1)$

Comprobamos que $B$ está en el plano: $2-2+1=1$.

La distancia recorrida es la longitud del segmento $\overline{AB}$.

$\overrightarrow{AB}=(2-0,1-3,1-1)=(2,-2,0)$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+(-2{)}^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$

El avión toca la plataforma en el punto $B(2,1,1)$ tras recorrer $2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$ unidades de longitud.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{plataforma}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{seguida}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El plano buscado, $\sigma$, contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. Su vector normal ha de ser, por tanto, perpendicular al vector director de la recta y al vector normal de la plataforma; lo obtenemos como producto vectorial de los dos.

$\vec{v}=(1,-1,0),{\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,1)$

${\vec{n}}_{\sigma }=\vec{v}\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 1& -2& 1\end{array}\mid =(-1,-1,-1)$

Cambiamos de signo, que da un vector igual de válido y más cómodo.

${\vec{n}}_{\sigma }=(1,1,1)\Rightarrow \sigma :x+y+z+D=0$

$A(0,3,1)\in \sigma \Rightarrow 0+3+1+D=0\Rightarrow D=-4$

$\sigma :x+y+z-4=0$

Comprobamos las dos condiciones: ${\vec{n}}_{\sigma }\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1-2+1=0$, luego los planos son perpendiculares, y $B(2,1,1)$ cumple $2+1+1-4=0$, luego la recta entera está contenida en $\sigma$.

El plano pedido es $\sigma :x+y+z-4=0$.