Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Consideremos los puntos $A=(0,0,0)$, $B=(2,-1,3)$ y $C=(-1,2,1)$.

a) Calcule el punto $D$ tal que $ABDC$ sea un paralelogramo. [3 puntos]

b) Calcule uno de los puntos $E$ del espacio de tal manera que la recta $AE$ sea perpendicular al plano $ABC$ y que la distancia entre los puntos $A$ y $E$ sea 1. [4 puntos]

c) Escriba la ecuación de uno de los planos paralelos al plano $ABC$ que dista una unidad de este. [3 puntos]

En un paralelogramo $ABDC$ los lados se recorren en ese orden, de modo que $AB$ y $CD$ son lados opuestos, igual que $BD$ y $AC$. La condición que caracteriza el paralelogramo es la igualdad de los vectores de dos lados opuestos.

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC}=(-1,2,1)-(0,0,0)=(-1,2,1)$

$D=B+\overrightarrow{AC}=(2,-1,3)+(-1,2,1)=(1,1,4)$

Comprobamos con el otro par de lados:

$\overrightarrow{AB}=(2,-1,3),\overrightarrow{CD}=(1,1,4)-(-1,2,1)=(2,-1,3)$

El punto buscado es $D(1,1,4)$.



Que la recta $AE$ sea perpendicular al plano significa que el vector $\overrightarrow{AE}$ es normal al plano, así que calculamos primero ese vector normal como producto vectorial de dos direcciones del plano.

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 3\\ -1& 2& 1\end{array}\mid =(-7,-5,3)$

$\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-7{)}^2+(-5{)}^2+3^2}=\sqrt{49+25+9}=\sqrt{83}$

El vector normal marca la dirección, pero no tiene la longitud pedida: hay que normalizarlo para que el desplazamiento desde $A$ mida exactamente una unidad.

$E=A\pm {\displaystyle \frac{\vec{n}}{\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }}}=(0,0,0)\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{83}}}(-7,-5,3)$

Hay dos soluciones, una a cada lado del plano; el enunciado pide solo una.

$E({\displaystyle \frac{-7}{\sqrt{83}}},{\displaystyle \frac{-5}{\sqrt{83}}},{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{83}}})\approx (-\mathrm{0,768};-\mathrm{0,549};\mathrm{0,329})$





Dos planos paralelos comparten vector normal y solo se diferencian en el término independiente, de modo que escribimos el haz de planos paralelos y ajustamos ese término con la fórmula de la distancia.

Del apartado anterior, un vector normal es $(-7,-5,3)$, o equivalentemente $(7,5,-3)$. Como el plano $ABC$ pasa por $A(0,0,0)$, su ecuación es:

$\pi :7x+5y-3z=0$

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:7x+5y-3z+D=0$

Tomamos el punto $A(0,0,0)$ del plano de partida y le imponemos que diste una unidad de ${\pi }^{\mathrm{\prime }}$:

$d(A,{\pi }^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }7\cdot 0+5\cdot 0-3\cdot 0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{7^2+5^2+(-3{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }}{\sqrt{83}}}=1$

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=\sqrt{83}\Rightarrow D=\pm \sqrt{83}$

Hay dos planos, uno a cada lado. Uno de ellos es

${\pi }^{\mathrm{\prime }}:7x+5y-3z+\sqrt{83}=0$