Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Considere el plano $\pi :2x+3y+z-6=0$.

a) Determine los vértices del triángulo que viene determinado por la intersección del plano con los ejes de coordenadas. [3 puntos]

b) Calcule el área de ese triángulo. [3 puntos]

c) Sea $A$ el vértice del triángulo situado sobre el eje de abscisas (eje $OX$). Calcule la recta perpendicular al plano que pasa por $A$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viene}}\mathbf{\text{determinado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada eje se caracteriza por tener nulas las otras dos coordenadas, así que basta imponer esa condición en la ecuación del plano y despejar la que queda.

Corte con el eje $OX$ ($y=z=0$):

$2x-6=0\Rightarrow x=3\Rightarrow A(3,0,0)$

Corte con el eje $OY$ ($x=z=0$):

$3y-6=0\Rightarrow y=2\Rightarrow B(0,2,0)$

Corte con el eje $OZ$ ($x=y=0$):

$z-6=0\Rightarrow z=6\Rightarrow C(0,0,6)$

Los vértices del triángulo son $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,6)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, tomados desde un mismo vértice.

$\overrightarrow{AB}=(0,2,0)-(3,0,0)=(-3,2,0)$

$\overrightarrow{AC}=(0,0,6)-(3,0,0)=(-3,0,6)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -3& 2& 0\\ -3& 0& 6\end{array}\mid =(12,18,6)$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{{12}^2+{18}^2+6^2}=\sqrt{144+324+36}=\sqrt{504}=6\sqrt{14}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 6\sqrt{14}=3\sqrt{14}\approx \mathrm{11,22}$

El área del triángulo es $3\sqrt{14}\approx \mathrm{11,22}$ unidades de área.



Una recta perpendicular a un plano tiene por vector director el vector normal de ese plano, que se lee directamente de los coeficientes de la ecuación general.

${\vec{n}}_{\pi }=(2,3,1)$

Con ese vector y el punto $A(3,0,0)$ escribimos la recta en paramétricas:

$r:\{\begin{array}{l}x=3+2\lambda \\ y=3\lambda \\ z=\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

O bien en forma continua:

$r:{\displaystyle \frac{x-3}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z}{1}}$

La recta perpendicular al plano por el vértice $A$ es la de punto $A(3,0,0)$ y vector director $(2,3,1)$.