Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sean $a$ y $b$ dos constantes reales no nulas. Considere el plano $\pi :x+ay-2z=3$ y la recta

$r:\{\begin{array}{l}x+bz=1,\\ y=0.\end{array}$

a) ¿Para qué valores de $a$ y $b$ la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$? Para esos casos concretos, calcule el punto de corte entre $r$ y $\pi$, y calcule o justifique cuál es la distancia de la recta al plano. [4 puntos]

b) ¿Para qué valores de $a$ y $b$ la recta $r$ es paralela al plano $\pi$? [3 puntos]

c) ¿Existen algunos valores de $a$ y $b$ para los cuales la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$? [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{esos}}\mathbf{\text{casos}}\mathbf{\text{concretos,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{entre}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Necesitamos primero un vector director de la recta. Al venir dada como intersección de dos planos, ese vector es el producto vectorial de sus dos vectores normales.

${\vec{v}}_r=(1,0,b)\times (0,1,0)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 0& b\\ 0& 1& 0\end{array}\mid =(-b,0,1)$

${\vec{n}}_{\pi }=(1,a,-2)$

Que la recta sea perpendicular al plano equivale a que su vector director sea paralelo al normal del plano, es decir, a que sus componentes sean proporcionales.

$(-b,0,1)=k(1,a,-2)$

De la tercera componente, $1=-2k\Rightarrow k=-\frac{1}{2}$, que no es nulo. Llevándolo a la segunda:

$0=ka=-{\displaystyle \frac{a}{2}}\Rightarrow a=0$

Y de la primera, $-b=k=-\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{2}$.

La única posibilidad exige $a=0$, pero el enunciado dice que $a$ y $b$ son constantes no nulas. No hay, por tanto, ningún par de valores admisibles: con las hipótesis del enunciado la recta $r$ nunca puede ser perpendicular al plano $\pi$, y el punto de corte y la distancia quedan sin objeto.

Si se prescinde de esa restricción y se admite $a=0$, $b=\frac{1}{2}$, el plano es $\pi :x-2z=3$ y la recta, en paramétricas,

$r:\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=0\\ z=t\end{array}$

$(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})-2t=3\Rightarrow -{\displaystyle \frac{5t}{2}}=2\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

$Q({\displaystyle \frac{7}{5}},0,-{\displaystyle \frac{4}{5}})$

y la distancia de la recta al plano es nula, porque una recta perpendicular a un plano siempre lo corta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano, es decir, cuando el producto escalar de ambos se anula, y además la recta no está contenida en el plano.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=(-b)\cdot 1+0\cdot a+1\cdot (-2)=-b-2$

$-b-2=0\Rightarrow b=-2$

El parámetro $a$ no interviene en esta condición, así que sirve cualquier valor no nulo. Comprobamos que la recta no queda dentro del plano tomando su punto de $z=0$, que es $(1,0,0)$:

$1+a\cdot 0-2\cdot 0=1\mathrm{\ne }3$

El punto no pertenece al plano sea cual sea $a$, luego la recta es paralela al plano y no está contenida en él.

La recta $r$ es paralela al plano $\pi$ para $b=-2$ y cualquier valor no nulo de $a$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Existen}}\mathbf{\text{algunos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para que la recta esté contenida en el plano hacen falta dos cosas: que sus direcciones sean compatibles, lo que ya vimos que obliga a $b=-2$, y que además algún punto de la recta pertenezca al plano.

$(1,0,0)\in r$

$1+a\cdot 0-2\cdot 0=1\mathrm{\ne }3$

La igualdad no se cumple para ningún valor de $a$, porque el parámetro va multiplicado por $y=0$ y desaparece.

No existen valores de $a$ y $b$ para los que la recta esté contenida en el plano: cuando las direcciones son compatibles la recta queda siempre fuera, paralela a él.