Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados los puntos $A(1,1,1)$, $B(0,0,-2)$, $C(2,-1,0)$, $D(-1,2,-1)$ y $E(0,0,0)$.

a) Compruebe que los puntos $A$, $B$ y $C$ determinan un único plano, $\pi$. [2 puntos]

b) Averigüe si el triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es rectángulo en el vértice $A$. [3 puntos]

c) Encuentre el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos $A$ y $D$ con el plano $\pi$. [3 puntos]

d) Calcule el volumen del tetraedro definido por los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{determinan}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{plano,}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tres puntos determinan un único plano cuando no están alineados, es decir, cuando los vectores que los unen no son proporcionales.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,-2)-(1,1,1)=(-1,-1,-3)$

$\overrightarrow{AC}=(2,-1,0)-(1,1,1)=(1,-2,-1)$

${\displaystyle \frac{-1}{1}}=-1,{\displaystyle \frac{-1}{-2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Los cocientes no coinciden, luego los vectores no son proporcionales y los tres puntos determinan un único plano. Lo escribimos, porque hará falta después:

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& -3\\ 1& -2& -1\end{array}\mid =(-5,-4,3)$

$\pi :5x+4y-3z+D=0\Rightarrow 5+4-3+D=0\Rightarrow D=-6$

$\pi :5x+4y-3z-6=0$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Averig}}\ddot{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El ángulo en $A$ es recto si los dos lados que salen de él son perpendiculares, es decir, si su producto escalar se anula.

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)(1)+(-1)(-2)+(-3)(-1)=-1+2+3=4$

$4\mathrm{\ne }0$

No, el triángulo no es rectángulo en $A$: el producto escalar de los dos lados que concurren en ese vértice no se anula.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{D}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El seno del ángulo que forman una recta y un plano se obtiene con el producto escalar del director de la recta y el normal del plano.

$\overrightarrow{AD}=(-1,2,-1)-(1,1,1)=(-2,1,-2)$

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AD}\cdot \vec{n}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AD}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }}}$

$\overrightarrow{AD}\cdot \vec{n}=(-2)(-5)+(1)(-4)+(-2)(3)=10-4-6=0$

$\mathrm{sen}\alpha =0\Rightarrow \alpha =0^{\circ }$

El ángulo es nulo: la recta $AD$ es paralela al plano y, como $A$ pertenece a él, está de hecho contenida en $\pi$. Se comprueba con el punto $D$:

$5(-1)+4\cdot 2-3(-1)-6=-5+8+3-6=0$





El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\mid ={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid \mid \begin{array}{ccc}-1& -1& -3\\ 1& -2& -1\\ -2& 1& -2\end{array}\mid \mid$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& -1& -3\\ 1& -2& -1\\ -2& 1& -2\end{array}\mid =-1(4+1)+1(-2-2)-3(1-4)=-5-4+9=0$

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot 0=0$

El volumen es nulo. Era de esperar por el apartado anterior: $D$ pertenece al plano de $A$, $B$ y $C$, de modo que los cuatro puntos son coplanarios y el tetraedro degenera en una figura plana, sin volumen.