Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2022 (convocatoria extraordinaria)

Considere las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ \lambda & 2& -1\\ 2& \lambda & -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 3\lambda & 6\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule el determinante de la matriz $A$. [1 punto]

b) En función del parámetro $\lambda$, calcule el rango de la matriz $A$. [3 puntos]

c) Para el valor de $\lambda =1$, calcule la matriz inversa de $A$, $A^{-1}$. [3 puntos]

d) Para el valor de $\lambda =1$, resuelva la ecuación matricial $XA=B$. [3 puntos]

Durante un año, cierta empresa vende 21000 vehículos de tres modelos $A$, $B$ y $C$, al precio de 10000, 15000 y 20000 euros, respectivamente. El total de las ventas es de 332 millones de euros. Se ha observado que también se han vendido 21000 vehículos contando solo los del modelo $B$ y $\lambda$ veces los del modelo $A$.

a) Plantee un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de vehículos vendidos de cada modelo. [3 puntos]

b) Calcule el número de vehículos vendidos de cada modelo, suponiendo $\lambda =3$. [3 puntos]

c) Determine si existe algún valor del parámetro $\lambda$ para el cual la anterior situación no se pueda dar. [4 puntos]

Dadas las funciones $f(x)=x^2-4x$ y $g(x)=4-4x$.

a) Represéntelas gráficamente en un mismo sistema de coordenadas. [5 puntos]

b) Calcule los puntos de corte de ambas gráficas. [2 puntos]

c) Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones. [3 puntos]

Sea la función $f(x)=1-\sqrt[3]{x^2}$.

a) Calcule el dominio y los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes. [2 puntos]

b) Calcule la derivada de la función y obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [2 puntos]

c) Compruebe que $f(-1)=f(1)$ y que $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ no es nunca cero en el intervalo $[-1,1]$. ¿Contradice este hecho el teorema de Rolle? [3 puntos]

d) Haga un esbozo de la gráfica de la función $y=f(x)$. [3 puntos]

Sea $a$ un parámetro real. Considere el plano $\pi \equiv 3x-2y-z=4$, el punto $P(1,1,0)$ y la recta

$r\equiv \{\begin{array}{l}x-y=0,\\ x-az=1.\end{array}$

En cada caso, si existe, obtenga el valor del parámetro $a$ para el cual:

a) el punto $P$ pertenece a la recta $r$. [1 punto]

b) la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un único punto. [3 puntos]

c) la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. [3 puntos]

d) la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$. [3 puntos]

Dados los puntos $A(1,1,1)$, $B(0,0,-2)$, $C(2,-1,0)$, $D(-1,2,-1)$ y $E(0,0,0)$.

a) Compruebe que los puntos $A$, $B$ y $C$ determinan un único plano, $\pi$. [2 puntos]

b) Averigüe si el triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es rectángulo en el vértice $A$. [3 puntos]

c) Encuentre el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos $A$ y $D$ con el plano $\pi$. [3 puntos]

d) Calcule el volumen del tetraedro definido por los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$. [2 puntos]

Una prueba diagnóstica de una enfermedad da resultado negativo el 5 % de las veces que se aplica a un individuo que la padece y da positivo el 10 % de las veces que se aplica a un individuo que no la padece. Las estadísticas muestran que dicha enfermedad afecta a 50 de cada 10000 personas. Si una persona escogida al azar se somete a la prueba diagnóstica, calcule las probabilidades siguientes:

a) Que un individuo no padezca la enfermedad. [1 punto]

b) Que la prueba dé resultado positivo. [3 puntos]

c) Que la persona no padezca la enfermedad, si el resultado de la prueba es negativo. [3 puntos]

d) Que el resultado de la prueba sea erróneo. [3 puntos]

Se tienen tres urnas $A$, $B$ y $C$. La urna $A$ contiene 4 bolas rojas y 2 bolas negras. La urna $B$ contiene 3 bolas rojas y 3 bolas negras. La urna $C$ contiene 6 bolas negras. Se escoge una urna al azar y se extraen dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento.

a) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja. [3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra. [3 puntos]

c) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcule la probabilidad de que la segunda sea negra. [4 puntos]