Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2025 (convocatoria extraordinaria)

Una empresa de transporte marítimo ha diseñado un nuevo contenedor metálico en forma de prisma rectangular, tal como se muestra en la figura. El contenedor diseñado tiene una base de dimensiones 3 metros por 2 metros y una altura de 2,5 metros. En el interior del contenedor se colocan un total de dos vigas para reforzar la estructura, las cuales se sitúan sobre la diagonal de cada una de las caras de dimensión $3\times \mathrm{2,5}$ metros, tal como se muestra en la figura (segmentos discontinuos).



a) Escoja un vértice del prisma rectangular y determine sobre él un sistema de referencia cartesiano que tendrá como origen ese vértice. Indique, con este sistema de referencia, cuáles son las coordenadas de cada uno de los vértices del prisma rectangular. [1 punto]

b) Calcule la longitud de las dos vigas y calcule la ecuación del plano que las contiene. Justifique el proceso. [1 punto]

c) Una de las dos caras de dimensión $2\times \mathrm{2,5}$ metros constituye la puerta del contenedor, tal como se muestra en la figura. ¿Podríamos introducir por ella una lámina de hierro cuadrada muy fina de dimensiones $\mathrm{2,75}\times \mathrm{2,75}$ metros? [0,5 puntos]

Dado el sistema

$\{\begin{array}{l}kx+y=1,\\ ky+z=0,\\ 3x-y-z=0,\end{array}$

donde $k$ es un número real cualquiera.

a) Discuta, según el parámetro $k$, el número de soluciones que tiene el sistema. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema cuando sea posible. [1 punto]

Está gestionando un puesto de comida y bebidas en un partido de baloncesto. Vende frankfurts, hamburguesas y refrescos. Cada frankfurt cuesta 3,50 €, cada hamburguesa cuesta 4 € y cada refresco cuesta 1,50 €. Al final de la noche le piden informar de cuántos frankfurts, hamburguesas y refrescos se han vendido.

a) ¿Podría informar de ello sabiendo que ha hecho un total de 328 € y que ha vendido 132 artículos entre frankfurts, hamburguesas y refrescos? Justifique la respuesta. [1 punto]

b) Si, además, sabemos que se han vendido 20 hamburguesas, ¿cuántos frankfurts y cuántos refrescos se han vendido? [1,5 puntos]

Dada la curva $y(x)=x^2-4$:

a) Calcule la recta tangente, $r$, a la curva $y$ por el punto $(2,0)$. [1 punto]

b) Calcule el área de la región comprendida entre la curva $y$, el eje $OY$ y la recta $r$. [1,5 puntos]

La concentración (en %) de hidrógeno de un cierto compuesto químico viene dada, en función del tiempo ($t\ge 0$), por la función

$H(t)={\displaystyle \frac{20}{1+e^{-t}}},$

donde el tiempo está medido en segundos.

a) ¿Cuál es la concentración inicial? [0,5 puntos]

b) Compruebe que la concentración de hidrógeno es siempre creciente. [1 punto]

c) Calcule hacia qué valor tiende la concentración a medida que pasa el tiempo. [1 punto]

Una empresa de construcción de drones ha hecho un estudio sobre la vida media de sus productos. Se ha detectado que el 45 % de sus productos se estropean antes de los 5 años. De entre estos objetos estropeados, el 40 % han sufrido un mal uso por parte de los usuarios, mientras que, de los productos no estropeados, se sabe que el 55 % también sufrieron un mal uso por parte de los usuarios.

a) Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos del estudio, ¿cuál es la probabilidad de obtener un producto que no se hubiese estropeado antes de los 5 años? [0,75 puntos]

b) Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos no estropeados antes de los 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho un buen uso de él? [0,75 puntos]

c) Si se selecciona aleatoriamente un producto del estudio y se sabe que sufrió un mal uso por parte del usuario, ¿cuál es la probabilidad de que no estuviese estropeado antes de los 5 años? [1 punto]

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Sean $A^{\mathrm{\prime }}$ y $B^{\mathrm{\prime }}$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$, respectivamente, y sea $A-B$ el conjunto de sucesos elementales de $A$ que no son de $B$.

Dadas las probabilidades $P(A)=\mathrm{0,75}$, $P(B^{\mathrm{\prime }})=\mathrm{0,45}$ y $P(A-B)=\mathrm{0,3}$, calcule:

a) $P(A\cap B)$. [0,75 puntos]

b) $P(B-A)$. [0,75 puntos]

c) $P(A^{\mathrm{\prime }}\cap B^{\mathrm{\prime }})$. [1 punto]