Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dada la curva $y(x)=x^2-4$:

a) Calcule la recta tangente, $r$, a la curva $y$ por el punto $(2,0)$. [1 punto]

b) Calcule el área de la región comprendida entre la curva $y$, el eje $OY$ y la recta $r$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente,}}\mathit{r}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathit{y}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Comprobamos primero que el punto es de la curva, porque solo entonces la tangente se obtiene derivando en él.

$y(2)=2^2-4=0$

La pendiente de la tangente es el valor de la derivada en ese punto:

$y^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}(2)=4$

Escribimos la recta en forma punto-pendiente:

$y-0=4(x-2)$

$r:y=4x-8$

La recta tangente a la curva en el punto $(2,0)$ es $r:y=4x-8$.



El recinto queda limitado a la izquierda por el eje de ordenadas, $x=0$, y a la derecha por el punto de tangencia, que es donde la parábola y la recta se tocan. Los límites de integración son, por tanto, $0$ y $2$.

Para saber cuál de las dos gráficas va por encima, restamos y estudiamos el signo:

$(x^2-4)-(4x-8)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2\ge 0$

La diferencia es un cuadrado, luego la parábola está por encima de la recta en todo el intervalo y solo se tocan en $x=2$, como corresponde a una tangente.

$\mathcal{A}={\int }_0^2[(x^2-4)-(4x-8)]dx={\int }_0^2(x-2{)}^{2}dx$

$\mathcal{A}={\left[{\displaystyle \frac{(x-2{)}^3}{3}}\right]}_0^2=0-{\displaystyle \frac{(-2{)}^3}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

El área de la región pedida es ${\displaystyle \frac{8}{3}}\approx \mathrm{2,67}$ unidades de área.