Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Sean $A^{\mathrm{\prime }}$ y $B^{\mathrm{\prime }}$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$, respectivamente, y sea $A-B$ el conjunto de sucesos elementales de $A$ que no son de $B$.

Dadas las probabilidades $P(A)=\mathrm{0,75}$, $P(B^{\mathrm{\prime }})=\mathrm{0,45}$ y $P(A-B)=\mathrm{0,3}$, calcule:

a) $P(A\cap B)$. [0,75 puntos]

b) $P(B-A)$. [0,75 puntos]

c) $P(A^{\mathrm{\prime }}\cap B^{\mathrm{\prime }})$. [1 punto]

Empezamos escribiendo los datos en el lenguaje de sucesos. El complementario da la probabilidad de $B$, y la diferencia $A-B$ es la parte de $A$ que queda fuera de $B$.

$P(A)=\mathrm{0,75},P(B)=1-P(B^{\mathrm{\prime }})=1-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,55},P(A-B)=\mathrm{0,3}$

Con estos datos se reparten las cuatro zonas del espacio muestral, que es lo que resuelve los tres apartados.





El suceso $A$ se descompone en dos partes disjuntas: la que comparte con $B$ y la que no.

$A=(A-B)\cup (A\cap B),(A-B)\cap (A\cap B)=\mathrm{\varnothing }$

$P(A)=P(A-B)+P(A\cap B)$

$\mathrm{0,75}=\mathrm{0,3}+P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,45}$

La probabilidad de que ocurran los dos sucesos a la vez es $P(A\cap B)=\mathrm{0,45}$.



Razonamos igual, pero descomponiendo ahora $B$ en la parte común y la parte propia.

$P(B)=P(B-A)+P(A\cap B)$

$\mathrm{0,55}=P(B-A)+\mathrm{0,45}\Rightarrow P(B-A)=\mathrm{0,1}$

La probabilidad de que ocurra $B$ pero no $A$ es $P(B-A)=\mathrm{0,1}$.



Por las leyes de De Morgan, que no ocurra ninguno de los dos es lo mismo que no ocurra su unión.

$A^{\mathrm{\prime }}\cap B^{\mathrm{\prime }}=(A\cup B{)}^{\mathrm{\prime }}$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,75}+\mathrm{0,55}-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,85}$

$P(A^{\mathrm{\prime }}\cap B^{\mathrm{\prime }})=1-P(A\cup B)=1-\mathrm{0,85}=\mathrm{0,15}$

La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es $\mathrm{0,15}$, que es justamente lo que queda fuera de los dos círculos del diagrama.