Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

El 38 % de los habitantes de un pueblo afirman que su deporte preferido es la natación, mientras que el 21 % prefieren el ciclismo y el resto se inclinan más por otros deportes. Si se escoge al azar una persona y, a continuación, otra diferente, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que las dos personas sean aficionadas a la natación. [3 puntos]

b) Que una de las dos personas sea aficionada al ciclismo y la otra a la natación. [3 puntos]

c) Sabiendo que la primera prefiere el ciclismo, que la segunda no prefiera ese deporte. [4 puntos]

Nombramos los sucesos referidos a una persona escogida al azar:

$N\equiv$ su deporte preferido es la natación

$C\equiv$ su deporte preferido es el ciclismo

$O\equiv$ prefiere otros deportes

$P(N)=\mathrm{0,38},P(C)=\mathrm{0,21},P(O)=1-\mathrm{0,38}-\mathrm{0,21}=\mathrm{0,41}$

Como el pueblo es una población grande, quitar una persona no altera de forma apreciable los porcentajes, de modo que tratamos las dos elecciones como independientes y las organizamos en un árbol de dos etapas.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{aficionadas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nataci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se recorre la rama que pasa dos veces por $N$, y al ser sucesos independientes las probabilidades se multiplican.

$P(N_1\cap N_2)=P(N)\cdot P(N)=\mathrm{0,38}\cdot \mathrm{0,38}=\mathrm{0,1444}$

La probabilidad de que las dos personas prefieran la natación es $\mathrm{0,1444}$, es decir, un $\mathrm{14,44}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{aficionada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{ciclismo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nataci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El enunciado no dice cuál de las dos es cuál, de modo que valen dos ramas del árbol: ciclismo y después natación, o natación y después ciclismo.

$P=P(C_1\cap N_2)+P(N_1\cap C_2)=\mathrm{0,21}\cdot \mathrm{0,38}+\mathrm{0,38}\cdot \mathrm{0,21}$

$P=2\cdot \mathrm{0,0798}=\mathrm{0,1596}$

La probabilidad de que una prefiera el ciclismo y la otra la natación es $\mathrm{0,1596}$, es decir, un $\mathrm{15,96}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{prefiere}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ciclismo,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{prefiera}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{deporte.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como las dos elecciones son independientes, lo que haya salido en la primera no condiciona a la segunda, así que la probabilidad pedida es simplemente la del suceso contrario de $C$.

$P({\bar{C}}_2\mathrm{\mid }{C}_1)=P(\bar{C})=1-P(C)=1-\mathrm{0,21}=\mathrm{0,79}$

La probabilidad de que la segunda persona no prefiera el ciclismo es $\mathrm{0,79}$, es decir, un $79\mathrm{\%}$.