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Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2024 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Islas Baleares, convocatoria extraordinaria de 2024. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Matrices

Sean las matrices

A = (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) y C = (\begin{array}{cc} 2 & - 2 \\ - 2 & 0 \end{array}) .

a) Calcule la matriz

M = A^{⊤} A - B B^{⊤}

, donde

A^{⊤}

B^{⊤}

representan las matrices traspuestas de

A

B

respectivamente. [3 puntos]

b) Justifique si

M

es o no invertible. En caso afirmativo, resuelva los sistemas de ecuaciones

M (\begin{array}{c} a \\ c \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) y M (\begin{array}{c} b \\ d \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}),

para calcular la inversa de la matriz

M

. Compruebe que la matriz

(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})

, para los valores de

a

b

c

d

calculados, es la matriz inversa de

M

. [3 puntos]

c) Calcule la matriz

X

que cumple la igualdad

X M + A = C

. [4 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Sea

I_{3}

la matriz identidad de orden

3 \times 3

A

la matriz

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array}) .

a) Calcule la matriz

B = 3 A - k I_{3}

, indicando su expresión en función del parámetro real

k

. [4 puntos]

b) Discuta el rango de la matriz

B

según el parámetro

k

. [4 puntos]

c) ¿Para qué valores de

k

se puede calcular la inversa de

B

? Justifique la respuesta. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Sean

P = (- 1, 1, 1)

Q = (7, 1, 7)

R = (- 4, 1, 5)

puntos de

R^{3}

.

a) Demuestre que los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Indique cuál de los 3 ángulos es recto. [3 puntos]

b) ¿Se podría construir un cuadrado añadiendo un único vértice nuevo? Justifique la respuesta. [3 puntos]

c) Pruebe que, para cualquier valor de

a

real, el punto

S = (a, 1, 0)

es coplanario con

P

Q

R

. [4 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Sean las rectas

r : {\begin{cases} x + 2 y = - 1, \\ z = 1, \end{cases} y s : x + 1 = \frac{y - 1}{2} = z .

Calcule:

a) La posición relativa de las dos rectas. Es decir, si son coincidentes, paralelas, se cortan o se cruzan. En los dos últimos casos, especifique si lo hacen perpendicularmente. [5 puntos]

b) La ecuación del plano que es paralelo a las dos rectas

r

s

y pasa por el punto

A = (2, 2, 1)

. [5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Derivadas

Resuelva los siguientes apartados:

a) Dada la función

f (x) = a x + b \sqrt{x}

, determine los valores de

a

b

sabiendo que

f (x)

alcanza su máximo en

x = 100

y que pasa por el punto

(49, 91)

. [5 puntos]

b) Dada la función

g (x) = \frac{(x - 1) \sqrt{x}}{x^{2} - 1},

indique cuál es su dominio. ¿Es

g (x)

una función continua en su dominio? Justifique la respuesta y, en caso negativo, indique qué tipo de discontinuidad presenta. [5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Integrales y Áreas

Calcule el área de la superficie comprendida entre las curvas

f (x) = 6 x - x^{2}

g (x) = x^{2} - 2 x

y sus puntos de corte. [10 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

El 38 % de los habitantes de un pueblo afirman que su deporte preferido es la natación, mientras que el 21 % prefieren el ciclismo y el resto se inclinan más por otros deportes. Si se escoge al azar una persona y, a continuación, otra diferente, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que las dos personas sean aficionadas a la natación. [3 puntos]

b) Que una de las dos personas sea aficionada al ciclismo y la otra a la natación. [3 puntos]

c) Sabiendo que la primera prefiere el ciclismo, que la segunda no prefiera ese deporte. [4 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución normal

El peso, en gramos, de las judías en lata se distribuye normalmente con media

μ

y desviación típica 7,8. Dado que el 10 % de estas latas contienen menos de 200 g, calcule:

a) El valor de la media

μ

, redondeándola a las unidades. [6 puntos]

b) El porcentaje de latas que contienen más de 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]

c) El porcentaje de latas que contienen entre 190 g y 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8