Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Sean las matrices

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule la matriz $M=A^{\mathrm{\top }}A-B{B}^{\mathrm{\top }}$, donde $A^{\mathrm{\top }}$ y $B^{\mathrm{\top }}$ representan las matrices traspuestas de $A$ y $B$ respectivamente. [3 puntos]

b) Justifique si $M$ es o no invertible. En caso afirmativo, resuelva los sistemas de ecuaciones

$M\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{y}M\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),$

para calcular la inversa de la matriz $M$. Compruebe que la matriz $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, para los valores de $a$, $b$, $c$ y $d$ calculados, es la matriz inversa de $M$. [3 puntos]

c) Calcule la matriz $X$ que cumple la igualdad $XM+A=C$. [4 puntos]

Escribimos primero las traspuestas, que se obtienen cambiando filas por columnas, y hacemos los dos productos por separado.

$A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right),B^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$

$A^{\mathrm{\top }}A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$

$B{B}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$M=A^{\mathrm{\top }}A-B{B}^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$



Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\mid =2-4=-2\mathrm{\ne }0$

$M$ es invertible. Cada uno de los dos sistemas propuestos da una columna de la inversa, que es lo que significa la igualdad $M{M}^{-1}=I$.

El primer sistema es:

$\{\begin{array}{l}2a+2c=1\\ 2a+c=0\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene $c=1$, y sustituyendo:

$2a+1=0\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El segundo sistema es:

$\{\begin{array}{l}2b+2d=0\\ 2b+d=1\end{array}$

Restando igual que antes, $d=-1$, y sustituyendo:

$2b-1=1\Rightarrow b=1$

$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

Comprobamos que efectivamente es la inversa multiplicando:

$\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1+2& 2-2\\ -1+1& 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$



La incógnita está multiplicada por $M$ por la derecha, así que hay que multiplicar por $M^{-1}$ también por la derecha.

$XM=C-A$

$C-A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 1\end{array}\right)$

$XM{M}^{-1}=(C-A)M^{-1}\Rightarrow X=(C-A)M^{-1}$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{7}{2}& 4\\ \frac{3}{2}& -2\end{array}\right)$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{7}{2}& 4\\ \frac{3}{2}& -2\end{array}\right)$, que se comprueba sustituyendo en $XM+A=C$.