Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sean las matrices

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}6& -3& -4\\ -3& 2& 1\\ -4& 1& 5\end{array}\right),\mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

y $\lambda$ un parámetro real cualquiera.

a) Calcule la matriz $\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$. [2 puntos]

b) Calcule la matriz $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}{)}^2$. [3 puntos]

c) Calcule, si existen, los valores del parámetro $\lambda$ para los cuales se satisface la relación $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}{)}^2=\mathbf{B}$. [5 puntos]

Restar $\lambda \mathbf{I}$ solo afecta a la diagonal principal, porque la identidad tiene ceros fuera de ella.

$\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 1\\ 1& 1-\lambda & 0\\ 1& 0& -\lambda \end{array}\right)$



Multiplicamos la matriz anterior por sí misma, fila por columna.

$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 1\\ 1& 1-\lambda & 0\\ 1& 0& -\lambda \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 1\\ 1& 1-\lambda & 0\\ 1& 0& -\lambda \end{array}\right)$

$(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }^2+2& 1-2\lambda & -2\lambda \\ 1-2\lambda & (1-\lambda {)}^2+1& 1\\ -2\lambda & 1& {\lambda }^2+1\end{array}\right)$



Dos matrices son iguales cuando coinciden elemento a elemento, de modo que igualamos posición por posición y buscamos un valor de $\lambda$ que cumpla todas las condiciones a la vez.

$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }^2+2& 1-2\lambda & -2\lambda \\ 1-2\lambda & (1-\lambda {)}^2+1& 1\\ -2\lambda & 1& {\lambda }^2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}6& -3& -4\\ -3& 2& 1\\ -4& 1& 5\end{array}\right)$

Empezamos por la más sencilla, la de la esquina superior derecha:

$-2\lambda =-4\Rightarrow \lambda =2$

Comprobamos que ese valor satisface todas las demás igualdades:

${\lambda }^2+2=4+2=6$

$1-2\lambda =1-4=-3$

$(1-\lambda {)}^2+1=(1-2{)}^2+1=1+1=2$

${\lambda }^2+1=4+1=5$

Las posiciones que valen 1 lo hacen para cualquier $\lambda$, así que no imponen nada. Todas las condiciones se cumplen simultáneamente.

Existe un único valor, $\lambda =2$, para el cual $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}{)}^2=\mathbf{B}$.