Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dadas las matrices $A$ y $B$,

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& x\\ 4& 6& 8\\ 6& 9& 12\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$

a) Calcule $A\cdot B$ y $(A\cdot B{)}^t$, donde la «t» indica matriz traspuesta. [4 puntos]

b) ¿Es posible calcular $B^2$? Si lo es, calcúlela. [1 punto]

c) Para los diferentes valores de $x$, calcule el rango de la matriz $A$. [5 puntos]

El producto está definido porque $A$ es $3\times 3$ y $B$ es $3\times 2$; el resultado será $3\times 2$.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& x\\ 4& 6& 8\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+x& 7\\ 12& 14\\ 18& 21\end{array}\right)$

$(A\cdot B{)}^t=\left(\begin{array}{ccc}2+x& 12& 18\\ 7& 14& 21\end{array}\right)$



Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ha de coincidir con el de filas de la segunda.

$B\text{ es }3\times 2\Rightarrow B\cdot B:2\mathrm{\ne }3$

No es posible calcular $B^2$: $B$ tiene 2 columnas y 3 filas, de modo que no puede multiplicarse por sí misma. Solo las matrices cuadradas se pueden elevar al cuadrado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Observamos primero que la tercera fila es proporcional a la segunda, lo que ya limita el rango sin necesidad de calcular nada.

$F_3=(6,9,12)={\displaystyle \frac{3}{2}}(4,6,8)={\displaystyle \frac{3}{2}}{F}_2\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\mathrm{\forall }x$

El rango, por tanto, nunca llega a 3. Estudiamos si la primera fila es también proporcional a la segunda:

${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{x}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x=4$

Si $x=4$, las tres filas son proporcionales entre sí y solo queda una linealmente independiente:

$\mathrm{rg}(A)=1$

Si $x\mathrm{\ne }4$, la primera y la segunda fila no son proporcionales, y basta un menor de orden dos no nulo para confirmarlo:

$\mid \begin{array}{cc}3& x\\ 6& 8\end{array}\mid =24-6x\mathrm{\ne }0\text{ si }x\mathrm{\ne }4\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

El rango de $A$ vale 1 para $x=4$ y 2 para cualquier otro valor de $x$.