Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

$\begin{array}{r}4X-5Y={\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{ccc}-9& -4& -6\\ 17& 3& 13\end{array}\right)\\ 6X+4Y=\left(\begin{array}{ccc}10& 4& -10\\ 12& 10& 22\end{array}\right)\end{array}\}$ [2,5 puntos]

Antes de operar conviene simplificar el segundo miembro de la primera ecuación, que es un producto de matrices con una inversa por medio.

${\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)}^{-1}$: su determinante vale $2-1=1$, luego la matriz es invertible.

${\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-9& -4& -6\\ 17& 3& 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -5& 1\\ 8& -1& 7\end{array}\right)$

El sistema que hay que resolver es, por tanto:

$\{\begin{array}{l}4X-5Y=\left(\begin{array}{ccc}-1& -5& 1\\ 8& -1& 7\end{array}\right)\\ 6X+4Y=\left(\begin{array}{ccc}10& 4& -10\\ 12& 10& 22\end{array}\right)\end{array}$

Se resuelve por reducción, igual que un sistema numérico: multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 5 para que los términos en $Y$ se cancelen al sumar.

$16X-20Y=\left(\begin{array}{ccc}-4& -20& 4\\ 32& -4& 28\end{array}\right)$

$30X+20Y=\left(\begin{array}{ccc}50& 20& -50\\ 60& 50& 110\end{array}\right)$

$46X=\left(\begin{array}{ccc}46& 0& -46\\ 92& 46& 138\end{array}\right)\Rightarrow X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$

Con $X$ ya conocida, se despeja $Y$ en la segunda ecuación.

$4Y=\left(\begin{array}{ccc}10& 4& -10\\ 12& 10& 22\end{array}\right)-6\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 4& -4\\ 0& 4& 4\end{array}\right)$

$Y=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la primera ecuación:

$4X-5Y=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& -4\\ 8& 4& 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -5\\ 0& 5& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -5& 1\\ 8& -1& 7\end{array}\right)$

La solución del sistema son las matrices $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$.