Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Dadas las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 1& 2& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\text{y}C=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$

a) Compruebe si la matriz $M=2I_3+B^t$ tiene inversa, donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. [0,75 puntos]

b) Justifique que existe la matriz $X$ que verifica la ecuación siguiente:

$2X+C=A-X\cdot B^t$

Calcule razonadamente dicha matriz $X$. [1,75 puntos]

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que primero se construye $M$ y después se calcula $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }$.

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& -1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

$M=2I_3+B^t=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& -1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$

Desarrollamos por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =2-1=1\mathrm{\ne }0$

El determinante no se anula, luego la matriz $M$ sí tiene inversa.



Agrupamos en el primer miembro los dos términos que llevan $X$. En los dos aparece por la izquierda, así que se puede sacar factor común por ese lado, y lo que queda dentro del paréntesis es exactamente la matriz $M$ del apartado anterior.

$2X+C=A-X\cdot B^t\Rightarrow 2X+X\cdot B^t=A-C$

$X(2I_3+B^t)=A-C\Rightarrow X\cdot M=A-C$

Como en el apartado anterior se ha comprobado que $M$ es invertible, se puede multiplicar por $M^{-1}$ por la derecha —el lado por el que $M$ multiplica a $X$—, y de ahí que la matriz $X$ exista y sea única.

$X\cdot M\cdot M^{-1}=(A-C)M^{-1}\Rightarrow X=(A-C)M^{-1}$

$A-C=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 1& 2& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 3& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -1& -3& 0\\ 2& 2& 0\end{array}\right)$

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(M^t\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ -4& 1& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -1& -3& 0\\ 2& 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ -4& 1& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 10& -3& -5\\ -4& 2& 2\end{array}\right)$

La matriz que verifica la ecuación es $X=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 10& -3& -5\\ -4& 2& 2\end{array}\right)$.