Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Calcule el valor de la matriz $M=X^2-Y^2$, siendo $X$ e $Y$ las matrices que son solución del siguiente sistema:

$\{\begin{array}{l}4X+3Y=\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ -3& -1\end{array}\right)\\ 2X+Y=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& -1\end{array}\right)\end{array}$ [2,5 puntos]

Antes de calcular $M$ hay que resolver el sistema, que es de dos ecuaciones con dos incógnitas matriciales. Se resuelve por reducción, igual que un sistema numérico: multiplicamos la segunda ecuación por 3 para que los términos en $Y$ se cancelen al restar.

$6X+3Y=3\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 12\\ 3& -3\end{array}\right)$

$(6X+3Y)-(4X+3Y)=\left(\begin{array}{cc}9& 12\\ 3& -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ -3& -1\end{array}\right)$

$2X=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 6& -2\end{array}\right)\Rightarrow X=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$

Con $X$ ya conocida se despeja $Y$ en la segunda ecuación.

$Y=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& -1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 6& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 0\\ -5& 1\end{array}\right)$

Conviene subrayar que $M=X^2-Y^2$ no puede factorizarse como $(X+Y)(X-Y)$, porque el producto de matrices no es conmutativo. Hay que calcular cada cuadrado por separado.

$X^2=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}22& 6\\ 9& 7\end{array}\right)$

$Y^2=\left(\begin{array}{cc}-5& 0\\ -5& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-5& 0\\ -5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}25& 0\\ 20& 1\end{array}\right)$

$M=X^2-Y^2=\left(\begin{array}{cc}22& 6\\ 9& 7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}25& 0\\ 20& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ -11& 6\end{array}\right)$

La matriz pedida es $M=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ -11& 6\end{array}\right)$.