Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dadas las matrices:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 2& 9\\ 10& -3& 5\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 1& 3& 9\\ 10& -3& 4\end{array}\right)C=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -3& -1\\ 6& 0\end{array}\right)$

Se plantea la siguiente ecuación matricial: $X\cdot A-C^t=X\cdot B$

a) Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz $X$. [0,5 puntos]

b) Halle la matriz $X$ que cumple la ecuación. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{dimensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se razona con las dimensiones de cada producto, exigiendo que todas las operaciones estén definidas y que los dos miembros de la ecuación tengan el mismo tamaño.

Si $X$ es de orden $m\times n$, para poder multiplicarla por $A$, que es $3\times 3$, ha de ser $n=3$, y el producto $X\cdot A$ resulta $m\times 3$. Lo mismo ocurre con $X\cdot B$.

Por otra parte, $C$ es $3\times 2$, luego $C^t$ es $2\times 3$. Para que la resta $X\cdot A-C^t$ tenga sentido, $m=2$.

La matriz $X$ es, por tanto, de dimensión $2\times 3$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{X}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cumple}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En los dos miembros la incógnita aparece multiplicada por la derecha, así que se agrupan los términos con $X$ y se saca factor común por ese lado.

$X\cdot A-C^t=X\cdot B\Rightarrow X\cdot A-X\cdot B=C^t\Rightarrow X(A-B)=C^t$

$A-B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 2& 9\\ 10& -3& 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 1& 3& 9\\ 10& -3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos que esa matriz es invertible antes de despejar. Al ser triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

$\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }=(-1)\cdot (-1)\cdot 1=1\mathrm{\ne }0$

$X(A-B)(A-B{)}^{-1}=C^t(A-B{)}^{-1}\Rightarrow X=C^t(A-B{)}^{-1}$

$(A-B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}((A-B{)}^t)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

—resulta ser ella misma, algo que se comprueba de inmediato multiplicándola por sí misma—.

$C^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& -3& 6\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}-1& -3& 6\\ 0& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

La matriz que cumple la ecuación es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$, de orden $2\times 3$ como se había razonado en el apartado anterior.