Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Cuestión 1B.

Considere las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 5& 0\end{array}\right)$.

a) [1,25] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.
b) [1,25] Resuelva la ecuación $A^{t}XB=C$, donde $A^t$ es la transpuesta de $A$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25]}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{regulares}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{invertibles)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{inversas.}}$

Una matriz cuadrada es regular si y solo si su determinante no se anula, así que empezamos por ahí.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\mid =6-1=5\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\mid =1-0=1\mathrm{\ne }0$

Las dos son, por tanto, regulares. Para invertirlas usamos la fórmula de la matriz de orden dos:

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$

$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$

Comprobamos una de ellas multiplicando:

$A{A}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=I$



Observamos primero que $A$ es simétrica, de modo que $A^t=A$ y también $(A^t{)}^{-1}=A^{-1}$.

Como el producto de matrices no es conmutativo, para despejar $X$ multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha, respetando en todo momento el lado.

$A^{t}XB=C\Rightarrow A^{-1}AXB{B}^{-1}=A^{-1}C{B}^{-1}$

$X=A^{-1}C{B}^{-1}$

Hacemos el producto por pasos. Primero $A^{-1}C$:

$A^{-1}C={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 5& 0\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 5& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

Y ahora multiplicamos por $B^{-1}$ por la derecha:

$X=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A^{t}XB=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 5& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 5& 0\end{array}\right)=C$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.