Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Cuestión 2.

Una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es una matriz ortogonal si cumple que $A\cdot A^t=I$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ e $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

a) [1] Estudie si las siguientes matrices son ortogonales o no:
$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\text{y}\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$
b) [0,75] Si $A$ es una matriz ortogonal cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.
c) [0,75] Justifique que si $A$ y $B$ son dos matrices ortogonales cualesquiera de orden 2, entonces el producto $C=A\cdot B$ también lo es.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{ortogonales}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no.}}$

Basta comprobar en cada caso si el producto de la matriz por su traspuesta da la identidad.

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right),A^t=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$

$A\cdot A^t=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

En la segunda matriz basta con un elemento de fuera de la diagonal para descartarla:

$B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\Rightarrow c_{12}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{\ne }0$

La primera matriz sí es ortogonal; la segunda no lo es.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75]}}\mathbf{\text{Si}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{ortogonal}}\mathbf{\text{cualquiera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{orden}}\mathbf{\text{2,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{determinante.}}$

Tomamos determinantes en la definición y usamos que el determinante de un producto es el producto de los determinantes y que una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante.

$\det (A)\cdot \det (A^t)=\det (I)=1$

${[\det (A)]}^2=1\Rightarrow \det (A)=\pm 1$

El determinante de una matriz ortogonal de orden dos vale $1$ o $-1$.



Hay que probar que $C\cdot C^t=I$. Usamos que la traspuesta de un producto invierte el orden de los factores.

$C^t=(A\cdot B{)}^t=B^t\cdot A^t$

$C\cdot C^t=(A\cdot B)(B^t\cdot A^t)=A(B\cdot B^t)A^t$

Aplicamos que $B$ es ortogonal y después que lo es $A$:

$C\cdot C^t=A\cdot I\cdot A^t=A\cdot A^t=I$

Queda probado que el producto de dos matrices ortogonales de orden dos vuelve a ser una matriz ortogonal.