Matemáticas II · Matrices · Comunidad Valenciana · 2021

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Problema 4.

Dada la matriz A=[−12m0m021m2+1], se pide:

a) Obtened el rango de la matriz en función del parámetro m. (4 puntos)
b) Explicad cuándo la matriz A es invertible. (2 puntos)
c) Resolved la ecuación XA=I donde I es la matriz identidad en el caso m=1. (4 puntos)

Solución

Problema 4. Dada la matriz A=(−12m0m021m2+1), se pide:
a) Obtened el rango de la matriz en funcioˊn del paraˊmetro m. (4 puntos)
Estudiemos ∣A∣,

∣A∣=∣−12m0m02mm+1∣=−m(m2+1)−2m2=−m3−m−2m2=−m(m2+2m+1)=−m(m+1)2

−m(m+1)2=0 {−m=0⇒m=0(m+1)2=0⇒m+1=0⇒m=−1

Por tanto, Si m≠−1 y 0 → ∣A∣≠0⇒ran⁡(A)=3

Si
#x27; in math mode at position 114: …t{sabemos que} $̲ltx |A|=0 \Righ…" style="color:#cc0000"> m=-1 \Rightarrow A=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 0\\2 & 1 & 2\end{pmatrix}\Rightarrow \text{sabemos que} $ltx |A|=0 \Rightarrow como ∣−120−1∣=1≠0⇒ran⁡(A)=2

Si
#x27; in math mode at position 111: …t{sabemos que} $̲ltx |A|=0 \Righ…" style="color:#cc0000"> m=0 \Rightarrow A=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 0\\0 & 0 & 0\\2 & 1 & 1\end{pmatrix}\Rightarrow \text{sabemos que} $ltx |A|=0 \Rightarrow como ∣−1221∣=−1−4=−5≠0⇒ran⁡(A)=2

Finalmente,
Si m≠−1 y 0, ran⁡(A)=3

Si m=−1 o m=0, ran⁡(A)=2

b) Explicad cuaˊndo la matriz A es invertible. (2 puntos)

La matriz A, una matriz cuadrada, será invertible cuando su determinante sea distinto de 0.
Luego, A es invertible para m≠−1 y 0.

c) Resolved la ecuacioˊn XA=I donde I es la matriz identidad en el caso m=1. (4 puntos)

Si m=1 (m≠−1 y 0), por tanto A es invertible.

Partimos de la ecuación a resolver: XA=I⇒Multiplicamos por A−1 por la derecha: XAA−1=IA−1⇒Como AA−1=I, queda: X=A−1

Si m=1,

A=(−121010212)⇒Sabemos que ∣A∣=−m(m+1)2⇒∣A∣m=1=−1(1+1)2=−4

Calculemos A−1,

A=(−121010212)⇒menores⇒(20−23−4−5−10−1) adjunta=(20−2−3−45−10−1)⇒transpuesta=(2−3−10−40−25−1)

Finalmente, A−1=1−4(2−3−10−40−25−1)=(−12341401012−5414)

Solución: X=(−12341401012−5414)


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