Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Problema 1.

Dadas las matrices $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 2& -1\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$ y $C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right]$. Se pide:

a) Demostrar que $C-A{B}^T$ tiene inversa y calcularla. (4 puntos)

b) Calcular la matriz $X$ que verifica $CX=A{B}^{T}X+I$, donde $I$ es la matriz identidad. (3 puntos)

c) Justificar que $(A{B}^T{)}^n=2^{n}I$ para todo número natural $n$. (3 puntos)

$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow B^T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

$A{B}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

$C-A{B}^T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -3\end{array}\right)$

Calculemos el determinante de $C-A{B}^T$

$\mathrm{\mid }C-A{B}^T\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -3\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }(C-A{B}^T{)}^{-1}$

Calculemos la inversa de $C-A{B}^T$



Finalmente,

$(C-A{B}^T{)}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-3& -1\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$

Por tanto $C-A{B}^T$ tiene inversa y es $\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$



$CX=A{B}^{T}X+I\Rightarrow CX-A{B}^{T}X=I\Rightarrow (C-A{B}^T)X=I\Rightarrow X=(C-A{B}^T{)}^{-1}$

Luego, $X=\left(\begin{array}{cc}-1& -\frac{1}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)$


En el apartado a) hemos obtenido que

$A{B}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=2I\Rightarrow (A{B}^T{)}^n=2^{n}I$

Calculemos $(A{B}^T{)}^2$

$(A{B}^T{)}^2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I\cdot 2I=4I=2^{2}I$ , se cumple para $n=2$.

Supongamos que se cumple $(A{B}^T{)}^n=2^{n}I$ , comprobamos que también se cumple para $n+1$.

$(A{B}^T{)}^{n+1}=(A{B}^T{)}^n(A{B}^T)=2^{n}I\cdot 2I=2^{n+1}{I}^2=2^{n+1}I$ , que es lo que queríamos comprobar.

Por inducción hemos comprobado que: $(A{B}^T{)}^n=2^{n}I$ para todo número natural $n$.