Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Problema 2.

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 2& 1\\ a& 0& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)$. Se pide:

a) Estudiar los valores del parámetro real $a$ para los que la ecuación matricial $A^{2}X=B$ tiene una única solución. (5 puntos)
b) Sabiendo que el vector $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ es una solución de la ecuación $A^{2}X=B$, encontrar el valor de $\alpha ,\beta$ y $\gamma$ dependiendo del parámetro real $a$. (5 puntos)

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 2& 1\\ a& 0& 3\end{array}\right),a\in \mathbb{R},B=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right),\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$



$A^{2}X=B\text{ tiene soluci}\acute{\text{o}}\text{n }\acute{\text{u}}\text{nica si }\det (A^2)\mathrm{\ne }0$.

$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 2& 1\\ a& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 2& 1\\ a& 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2a+1& 0& 8\\ a+9& 4& 11\\ 4a& 0& 2a+9\end{array}\right)$

$\det (A^2)\mathrm{\ne }0\Rightarrow \det \left(\begin{array}{ccc}2a+1& 0& 8\\ a+9& 4& 11\\ 4a& 0& 2a+9\end{array}\right)=4[(2a+1)(2a+9)-32a]=4(4a^2-12a+9)$

$\det (A^2)=0\Rightarrow 4(4a^2-12a+9)=0\Rightarrow a=3\mathrm{/}2\Rightarrow A^{2}X=B\text{ tiene soluci}\acute{\text{o}}\text{n }\acute{\text{u}}\text{nica }\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}$- {$3\mathrm{/}2$}



$\text{Si }X=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)\text{ es soluci}\acute{\text{o}}\text{n de }{A}^{2}X=B$

$\left(\begin{array}{ccc}2a+1& 0& 8\\ a+9& 4& 11\\ 4a& 0& 2a+9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}6a-5\\ 3a+8\\ 10a-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =6a-5\\ \beta =3a+8\\ \gamma =10a-9\end{array},a\in \mathbb{R}$