Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Se dan las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -3& 3\end{array}\right)$.

Obtener:

2.1.1 (1.25 puntos) La matriz $X$ solución de la ecuación $(A^{-1}X{)}^{-1}=A(B^{2}A{)}^{-1}$.

2.1.2 (0.5 puntos) El determinante de la matriz $(3A^{5}B{)}^2$.

2.1.3 (0.75 puntos) Los valores de $a$ y $b$, si existen, tales que
$a{B}^{100}+b{B}^{99}=A+C$.

$(A^{-1}\cdot X{)}^{-1}=A\cdot (B^2\cdot A{)}^{-1}$

$X^{-1}\cdot (A^{-1}{)}^{-1}=A\cdot A^{-1}\cdot (B^2{)}^{-1}$

$X^{-1}\cdot A=(B^2{)}^{-1}$

$X^{-1}\cdot A\cdot A^{-1}=(B^2{)}^{-1}\cdot A^{-1}\Rightarrow X^{-1}=(B^2{)}^{-1}\cdot A^{-1}$

$(X^{-1}{)}^{-1}=((B^2{)}^{-1}\cdot A^{-1}{)}^{-1}\Rightarrow X=(A^{-1}{)}^{-1}((B^2{)}^{-1}{)}^{-1}\Rightarrow X=A\cdot B^2$

Ahora esto:

$B^2=B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

$X=A\cdot B^2=A\cdot I=A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -2\end{array}\right)$





Por tanto:

$\det (A)=\mid \begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -2\end{array}\mid =1,\det (B)=\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\mid =-1$

$\det [(3A^{5}B{)}^2]=(3^2\cdot 1^5\cdot (-1){)}^2=(-9{)}^2=81$



Dado que $B^2=I$ como hemos visto anteriormente:

$B^{100}=(B^2{)}^{50}=I^{50}=I$

$B^{99}=(B^2{)}^{49}\cdot B=I^{49}\cdot B=I\cdot B=B$

$a\cdot B^{100}+b\cdot B^{99}=A+C$

$a\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3& -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -3& 3\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}a+b& 2b\\ 0& a-b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+b=1\\ 2b=0\\ a-b=1\end{array}\Rightarrow a=1\wedge b=0$